Aufgabe 1: Rechteckige Pyramide Oberfläche
gegeben: rechteckige Pyramide mit a = 3,4 dm, b = 2,8 dm und h = 4,5 dm
gesucht: a) Grundfläche b) Höhe ha c) Höhe hb d) Mantel e) Oberfläche
Lösung:
a) Berechnung der Grundfläche:
Gf = a * b
Gf = 3,4 * 2,8
Gf = 9,52 dm²
A: Die Grundfläche beträgt 9,52 dm²
b) Berechnung der Höhe ha
ha = √ [h² + (b/2)²]
ha = √ (4,5² + 1,4²)
ha = 4,7 dm
c) Berechnung der Höhe hb
hb = √ [h² + (a/2)²]
hb = √ (4,5² + 1,7²)
hb = 4,8 dm
d) Berechnung des Mantels
M = a * ha + b * hb
M = 3,4 * 4,7 + 2,8 * 4,8
M = 29,42 dm²
A: Die Mantelfläche beträgt 29,42 dm².
e) Berechnung der Oberfläche:
O = Gf + M
O = 9,52 + 29,42
O = 38,94 dm²
A: Die Oberfläche beträgt 38,94 dm².
Aufgabe 2: Rechteckige Pyramide Volumen und Masse
Rechteckige Pyramide aus Edelstahl mit a = 8,9 dm, b = 6,3 dm, h = 4,6 dm Dichte 7,9 kg/dm³
gesucht:
a) Grundfläche ?
b) Volumen ?
c) Masse ?
Lösung:
a) Berechnung der Grundfläche:
Gf = a * b
Gf = 8,9 * 6,3
Gf = 56,07 dm²
A: Die Grundfläche beträgt 56,07 dm².
b) Berechnung des Volumens
V = Gf * h : 3
V = 56,07 * 4,6
V = 257,92 dm³
A: Das Volumen beträgt 257,92 dm³.
c) Berechnung der Masse:
m = Volumen * Dichte
m = 257,92 * 7,9
m = 2 037,57 kg
A: Das Gewicht der Stahlpyramide beträgt 2037,57 kg.
Aufgabe 3: Rechteckige Pyramide Volumen und Masse 2
gegeben: rechteckige Pyramide aus Eichenholz mit a = 5,9 dm, b = 4,3 dm, h = 6,6 dm Dichte 0,9 kg/dm³
gesucht: a) Grundfläche ? b) Volumen ? c) Masse ?
Lösung:
a) Berechnung der Grundfläche:
Gf = a * b
Gf = 5,9 * 4,3
Gf = 25,37 dm²
A: Die Grundfläche beträgt 25,37 dm²
b) Berechnung des Volumens:
V = Gf * h : 3
V = 25,37 * 6,6
V = 167,44 dm³
A: Das Volumen beträgt 167,44 dm³
c) Berechnung der Masse:
m = Volumen * Dichte
m = 167,44 * 0,9
m = 150,70 kg
A: Das Gewicht der Pyramide aus Eichenholz beträgt 150,70 kg.
Aufgabe 4: Rechteckige Pyramide Turmdachfläche
Turmdach rechteckige Pyramide mit a = 5,2 m, b = 3,8 m und h = 4,7 m
ha = √ [h² + (b/2)²]
ha = √ (4,7² + 1,9²)
ha = 5,1 m
hb = √ [h² + (a/2)²]
hb = √ (4,7² + 2,6²)
hb = 5,4 m
M = 5,2 * 5,1 + 3,8 * 5,4
M = 47,04 m²
A: Die Mantelfläche beträgt 47,04 m².
: 100% – 47,04 m²
*108% – x m²
x = 47,04 * 108 : 100
x = 50,80 m²
A: Es müssen insgesamt für 50,80 m² Dachziegel angeschafft werden.
Aufgabe 5: Rechteckige Pyramide Höhen und Seitenkanten 2
gegeben: rechteckige Pyramide mit a = 5,6 cm, b = 3,4 cm, s = 6,5 m
gesucht: a) Körperhöhe h b) Höhe ha ? c) Höhe hb ?
Aufgabe 6: Rechteckige Pyramide Höhen und Seitenkanten 3
gegeben: rechteckige Pyramide mit a = 10,2 cm, b = 6,4 cm, ha = 5,77 cm
gesucht: a) Körperhöhe h ? b) Höhe hb ? c) Seitenkante s ?
Lösung:
a) Berechnung der Höhe h:
h = √ [ha² – (b/2)²]
h = √ (5,77² – 3,2²)
h = 4,8 cm
A: Die Höhe h beträgt 4,80 cm.
b) Berechnung der Höhe hb:
hb = √ [h² + (a/2)²]
hb = √ (4,8² + 5,1²)
hb = 7 cm
A: Die Höhe hb beträgt 7 cm.
c) Berechnung der Körperhöhe s:
Vorberechnung:
d = √ (a² + b²)
d = √ (10,2² + 6,4²)
d = 12,04 cm d.f. d/2 = 6,02 cm
s = √ [h² + (d/2)²]
s = √ (4,8² + 6,02²)
s = 7,7 cm
A: Die Seitenkante s beträgt 7,7 cm.
Aufgabe 7: Rechteckige Pyramide Umkehraufgabe 1
Rechteckige Pyramide mit a : b : s = 4 : 3 : 10.
Die Gesamtlänge aller Kanten beträgt 216 cm.
Fragestellung:
a) Grundkanten, a, b und Seitenkante s
b) Volumen
a : b : s = 4 : 3 : 10
d.f. a = 4t b = 3t s = 10t
GK = 2 * a + 2 * b + 4 * s
216 = 2 * 4t + 2 * 3t + 4 * 10t
216 = 8t + 6t + 40t
216 = 54t / : 54
t = 4
d.f. a = 4 * 4 d.f. a = 16 cm
d.f. b = 3 * 4 d.f. b = 12 cm
d.f. s = 10 * 4 d.f. s = 40 cm
A: Die Grundkante a ist 16 cm, b ist 12 cm und s ist 40 cm lang.
Berechne das Volumen:
Gf = a * b
Gf = 16 * 12
Gf = 192 cm²
d = √ (a² + b²)
d = √ (16² + 12²)
d = 20 cm
h = √ s² – (d/2)²
h = √ (40² – 10²)
h = 38,73 cm
V = Gf * h : 3
V = 192 * 38,73 : 3
V = 2 478,72 cm³
A: Das Volumen beträgt 2 478,72 cm³.
Aufgabe 8: Rechteckige Pyramide Umkehraufgabe 2
Rechteckige Pyramide mit a : b : s = 5 : 7 : 12.
Die Gesamtlänge aller Kanten beträgt 144 cm.
Fragestellung:
a) Grundkanten, a, b und Seitenkante s
b) Volumen
Lösung:
Wir ermitteln die Grundkanten a, b und Seitenkante s:
a : b : s = 5 : 7 : 12
d.f. a = 5t b = 7t s = 12t
GK = 2 * a + 2 * b + 4 * s
144 = 2 * 5t + 2 * 7t + 4 * 12t
144 = 10t + 14t + 48t
144 = 72t / : 72
t = 2
d.f. a = 5 * 2 d.f. a = 10 cm
d.f. b = 7 * 2 d.f. b = 14 cm
d.f. s = 12 * 2 d.f. s = 24 cm
A: Die Grundkante a ist 10 cm, b ist 14 cm und s ist 24 cm lang.
Berechne das Volumen:
Gf = a * b
Gf = 10 * 14
Gf = 140 cm²
d = √(a² + b²)
d = √(10² + 14²)
d = 17,20 cm
h = √ s² – (d/2)²
h = √ (24² – 8,6²)
h = 22,41 cm
V = Gf * h : 3
V = 140 * 22,41 : 3
V = 1 045,8 cm³
A: Das Volumen beträgt 1 045,8 cm³.
Aufgabe 9: Rechteckige Pyramide Umkehraufgabe 3
Rechteckige Pyramide aus Edelstahl hat ein Gewicht von 182,6 kg.
Die Dichte beträgt 7,9 kg/dm³.
Die Seitenkante a beträgt 3,2 dm, die Seitenkante b beträgt 2,8 dm.
gesucht: a) Volumen ? b) Höhe ?
m = V * Dichte
182,6 = V * 7,9 / : 7,9
V = 23,11 dm³
A: Das Volumen beträgt 23,11 dm³.
Berechnung der Körperhöhe:
Vorberechnung Grundfläche
Gf = a * b
Gf = 3,2 * 2,8
Gf = 8,96 dm²
V = Gf * h : 3
23,11 = 8,96 * h : 3 / * 3
69,33 = 8,96 * h / : 8,96
h = 7,74 dm
A: Die Pyramide hat eine Höhe von 7,74 dm.
Aufgabe 10: Rechteckige Pyramide Umkehraufgabe 4
Das Turmdach rechteckige Pyramide hat eine Mantelfläche von 83,6 m².
Weiters bekannt sind ha = 8,24 m, hb = 8,54 und b = 4 m
a) Seitenkante a ?
b) Oberfläche ?
c) Höhe des Turmdachs?
83,6 = a * 8,24 + 4 * 8,54
83,6 = a * 8,24 + 34,16 / – 34,16
49,44 = a * 8,24 / : 8,24
a = 6 m
A: Die Seitenkante a beträgt 6 m.
Berechnung der Oberfläche:
O = Gf + M
O = 6 * 4 + 83,6
O = 107,6 m²
A: Die Oberfläche beträgt 107,6 m².
Berechnung der Turmhöhe:
h = √ [ha² – (b/2)²]
h = √ (8,24² – 2²)
h = 8 m
Kontrolle mit:
h = √ [hb² – (a/2)²]
h = √ (8,54² – 3²)
h = 8 m
A: Die Turmhöhe beträgt 8 m.