Aufgabe: Kurvendiskussion ausführlich Übung 1
Führe für folgende Funktion eine Kurvendiskussion durch:
f (x) = – 1/4x³ + 3/2x²
a) berechne die abgeleiteten Funktionen f´(x), f´´(x) und f´´´ (x)
b) erstelle den Graph der Funktion f (x)
c) berechne die Nullstellen
d) berechne die Extremstellen
e) berechne den Wendepunkt
f) berechne die Wendetangente
g) bestimme das Monotonieverhalten
h) bestimme das Krümmungsverhalten
Lösung: Kurvendiskussion ausführlich Übung 1
a) Funktionen mit Ableitungen:
f (x) = – 1/4x³ + 3/2x²
f´ (x) = – 3/4x² + 3x
f´´ (x) = – 3/2x² + 3
f´´´ (x) = – 3x
b) Graph der Funktion f (x) = – 1/4x³ + 3/2x²
Übersicht über die Nullstellen, Extremstellen und den Wendepunkt!
c) Nullstellen:
0 = –1/4x³ + 3/2x² / * 4
0 = – x³ + 6x²
0 = x² * (- x + 6)
d.f. x² = 0
d.f. N1 (0/0) doppelte Nullstelle
d.f. 0 = – x + 6 / + x
x = 6
d.f. N2 (6/0)
d) Extremstellen (Hochpunkt und Tiefpunkt):
f´(x) = – 3/4x² + 3x
0 = – 3/4x² + 3x / * 4
0 = – 3x² + 12x
0 = x * (- 3x + 12)
d.f. x1 = 0
Ermittlung des y-Wertes mit f (0) = 0
f ´´ (0) = 3
⇒ f´´ (0) > 0
⇒ Tiefpunkt (lokales Minimum) T (0/0)
d.f. 0 = – 3x + 12 / + 3x
3x = 12 / : 3
x2 = 4
Ermittlung des y-Wertes mit f (4) = 8
f´´ (4) = – 3
⇒ f´´ (0) < 0
⇒ Hochpunkt (lokales Maximum) H (4/8)
e) Berechnung des Wendepunktes:
f´´ (x) = – 1,5x + 3
0 = – 1,5x + 3 / * 2
0 = – 3x + 6 / + 3x
3x = 6 / : 3
x = 2
Ermittlung des y-Wertes mit f (2) = 4
f´´´(2) ≠ 0
⇒ Wendepunkt W (2/4)
f) Berechnung der Wendetangente:
1. Schritt: Ermittlung der Steigung
Der x-Wert des Wendepunktes eingesetzt in die 1. Ableitung ergibt die Steigung der Tangente.
f ´(2) = 3 ⇒ Steigung k
2. Schritt: Ermittlung von d
y = k*x + d
4 = 3 * 2 + d d.f. d = – 2
3. Schritt: Aufstellung der Wendetangente
tw: y = 3x – 2
g) Monotonieverhalten:
– ∞ < x < 0 streng monoton fallend, da f´ (x) < 0 (zum Tiefpunkt 0/0)
0 < x < 4 streng monoton steigend, da f´ (x) > 0 (zum Hochpunkt 4/8)
4 < x < ∞ streng monoton fallend, da f´ (x) < 0
h) Krümmungsverhalten:
– ∞ < x < 2 positiv gekrümmt da f´´ (x) > 0 (bis zum Wendepunkt)
2 < x < ∞ negativ gekrümmt da f´´ (x) < 0 (ab dem Wendepunkt)