Aufgabe: Wurzelgleichung Übungsbeispiel 1
Wurzelgleichung: √(2x + 2) = 1 + √(2x – 5)
Grundmenge: ℝ
Lösung: Wurzelgleichung Übungsbeispiel 1
Wir bilden die Definitionsmenge!
√(2x + 2) = 1 + √(2x – 5)
2x + 2 ≥ 0 / – 2
2x ≥ -2 / : 2
x ≥ -1
2x – 5 ≥ 0 / + 5
2x ≥ + 5 / : 2
x ≥ 2,5
d.f. Definitionsmenge: D = {x ∈ ℝ | x ≥ 2,5}
Wir berechnen x:
1. Schritt: Wir quadrieren beide Seiten
√(2x + 2) = [1 + √(2x – 5)] / ²
2x + 2 = 1 + 2*√(2x – 5) + 2x – 5 (a² + 2ab + b²)
2. Schritt: Wir isolieren die Wurzel:
2x + 2 = 1 + 2*√(2x – 5) + 2x – 5 / – 2x + 4
6 = 2*√(2x – 5)
3. Schritt: kürzen
6 = 2*√(2x – 5) / : 2
3 = √(2x – 5)
4. Schritt: Quadrieren
3 = √(2x – 5) / ²
9 = 2x – 5
14 = 2x / : 2
x = 7 ist laut Definitionsmenge D = {x ∈ ℝ | x ≥ 2,5} eine mögliche Lösung!
Probe:
√(2 * 7 + 2) = 1 + √(2 * 7 – 5)
√(16) = 1 + √(9)
Beide Seiten der Gleichung ergeben + 4 d.f. wahre Aussage!
d.f. Lösungsmenge: L = {7}