Definition: quadratische Gleichungen
Quadratische Gleichungen mit 1 Variablen haben die allgemeine Form ax² + bx + c = 0 für die gilt: a, b, c ∈ ℝ und ≠ 0
Eine quadratische Gleichung ist zudem eine Gleichung zweiten Grades, d.h. ihre Variable x kommt in keinem höheren Grad als in der zweiten Potenz vor.
Bestandteile:
Quadratische Gleichungen umfassen drei Glieder:
ax² = quadratisches Glied
bx = lineares Glied
c = konstantes Glied
Lösungsformen im Überblick:
Folgende Lösungsformen können für quadratische Gleichungen je nach Ausgangslage angewandt werden.
ax² + bx + c = 0 ⇒ Mitternachtsformel
ax² + bx + c = 0 und a = + 1 ⇒ pq-Formel
ax² + bx = 0 ⇒ Herausheben
ax² + c = 0 ⇒ Wurzelziehen
ax² = 0 ⇒ Lösung ist immer 0
Mitternachtsformel (abc-Formel) für ax² + bx + c = 0
Mit der Mitternachtsformel lösen wir allgemeine quadratische Gleichungen der Form ax² + bx + c = 0
Die Diskriminante (b² – 4ac) entscheidet über die Anzahl der Lösungen der quadratischen Gleichung:
a) D > 0 d.f. 2 Lösungen
L = {x1; x2} da zwei Schnittpunkte mit der x-Achse
b) D = 0 d.f. 1 Lösung
L = {x} da ein Berührungspunkt mit der x-Achse
c) D < 0 d.f. keine Lösung
L = { } da kein Schnittpunkt mit der x-Achse
Beispiel:
gegeben: 6x² – 17x + 12 = 0 Grundmenge = ℝ
gesucht: x1, x2
1. Schritt: Variablen definieren
a = + 6, b = – 17 und c = + 12
3. Schritt: Wir bestimmen x1 und x2:
x1 = (+17 + 1) : 12
⇒ x1 = 18/12
⇒ x1 = +1,5
x2 = (+17 – 1) : 12
⇒ x1 = -16/22
⇒ x2 = 4/3
L = {+4/3;+1,5}
pq-Formel für ax² + bx + c = 0
Ist a = +1 spricht man von der Normalform einer quadratischen Gleichung.
Hier kann die pq-Formel angewendet werden.
a) D > 0 d.f. 2 Lösungen
L = {x1; x2} da zwei Schnittpunkte mit der x-Achse
b) D = 0 d.f. 1 Lösung
L = {x} da ein Berührungspunkt mit der x-Achse
c) D < 0 d.f. keine Lösung
L = { } da kein Schnittpunkt mit der x-Achse
Beispiel:
x² + 3x – 10 = 0 Grundmenge = ℝ
gesucht: x1, x2
1. Schritt: Bestimmung von p und q
p = +3 q = – 10
2. Schritt: pq-Formel
3. Schritt: Lösungsmenge bestimmen
x1 = – 1,5 – 3,5 = – 5
x2 = – 1,5 + 3,5 = + 2
L = { -5; +2}
Sonderfall ax² + c = 0:
Hier fehlt das lineare Glied bx.
Lösungsmethode: Wurzelziehen
Beispiel:
2x² – 32 = 0 / : 2
x² – 16 = 0 / + 16
x² = 16 / √
x1,2 = +/- 4
Sonderfall ax² + bx = 0:
Hier fehlt das konstante Glied c
Lösungsmethode: Herausheben
Beispiel:
4x² – 8x = 0
1. Schritt: Herausheben
x * (4x – 8) = 0
2. Schritt: In zwei Gleichungen “zerfällen”
x = 0 ∨ 4x – 8 = 0
3. Schritt: 1. Gleichung
x = 0 ⇒ x1 = 0
4. Schritt: 2. Gleichung
4x – 8 = 0 / + 8
4x = 8 / : 4
x = 2 ⇒ x2 = 2
5. Schritt: Lösungsmenge bilden
L = {0; 2}
PDF-Blätter:
Quadratische Gleichungen Merkblatt
Quadratische Gleichungen Übungsblatt