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Quadratische Gleichungen Überblick

Definition: quadratische Gleichungen


Quadratische Gleichungen mit 1 Variablen haben die allgemeine Form ax² + bx + c = 0 für die gilt: a, b, c ∈ ℝ und ≠ 0

Eine quadratische Gleichung ist zudem eine Gleichung zweiten Grades, d.h. ihre Variable x kommt in keinem höheren Grad als in der zweiten Potenz vor.

 

Quadratische Gleichungen

 

Bestandteile:


Quadratische Gleichungen umfassen drei Glieder:

ax² = quadratisches Glied

bx = lineares Glied

c = konstantes Glied

 

Lösungsformen im Überblick:


Folgende Lösungsformen können für quadratische Gleichungen je nach Ausgangslage angewandt werden. 

ax² + bx + c = 0 ⇒ Mitternachtsformel

ax² + bx + c = 0 und a = + 1 ⇒ pq-Formel 

ax² + bx = 0 ⇒ Herausheben

ax² + c = 0 ⇒ Wurzelziehen

ax² = 0 ⇒ Lösung ist immer 0

 

Mitternachtsformel (abc-Formel) für ax² + bx + c = 0


Mit der Mitternachtsformel lösen wir allgemeine quadratische Gleichungen der Form ax² + bx + c = 0

Quadratische Gleichungen Mitternachtsformel

Die Diskriminante (b² – 4ac) entscheidet über die Anzahl der Lösungen der quadratischen Gleichung:

 

a) D > 0  d.f. 2 Lösungen       

L = {x1; x2}  da zwei Schnittpunkte mit der x-Achse

 

b) D = 0  d.f. 1 Lösung           

L = {x}   da ein Berührungspunkt mit der x-Achse

 

c) D < 0  d.f.  keine Lösung    

L = { }  da kein Schnittpunkt mit der x-Achse

 

Beispiel:

gegeben: 6x² – 17x + 12  =  0      Grundmenge = ℝ 

gesucht: x1, x2

1. Schritt: Variablen definieren

a = + 6, b = – 17 und c = + 12

 
2. Schritt: Mitternachtsformel

Mitternachtsformel Beispiel

3. Schritt: Wir bestimmen x1 und x2:

x1 = (+17 + 1) : 12

⇒ x1 = 18/12  

⇒ x1 = +1,5

 

x2 = (+17 – 1) : 12

⇒ x1 = -16/22

⇒ x2 = 4/3

L = {+4/3;+1,5}

 

pq-Formel für ax² + bx + c = 0


Ist a = +1 spricht man von der Normalform einer quadratischen Gleichung.

Hier kann die pq-Formel angewendet werden.

Mit der pq-Formel können wir Gleichungen nach dem Muster  x² + px + q = 0 lösen.
Quadratische Gleichungen pq-Formel
 
Die Diskriminante (p/2)² – q entscheidet über die Anzahl der Lösungen der quadratischen Gleichung

 

a) D > 0  d.f. 2 Lösungen      

L = {x1; x2}  da zwei Schnittpunkte mit der x-Achse

 

b) D = 0  d.f. 1 Lösung          

L = {x}   da ein Berührungspunkt mit der x-Achse

 

c) D < 0  d.f. keine Lösung  

L = { }  da kein Schnittpunkt mit der x-Achse

 

Beispiel:

x² + 3x – 10 = 0      Grundmenge = ℝ

gesucht: x1, x2

1. Schritt: Bestimmung von p und q

p = +3  q = – 10

2. Schritt: pq-Formel

pq-Formel Beispiel

3. Schritt: Lösungsmenge bestimmen

x1 = – 1,5 – 3,5 = – 5

x2 = – 1,5 + 3,5 = + 2

L = { -5; +2}

 

Sonderfall ax² + c = 0:  


Hier fehlt das lineare Glied bx.

Lösungsmethode: Wurzelziehen

Beispiel:

2x² – 32  = 0   / : 2  

x² – 16  = 0 / + 16  

x² = 16 / √  

x1,2 = +/- 4

 

Sonderfall ax² + bx = 0:  


Hier fehlt das konstante Glied c

Lösungsmethode: Herausheben

Beispiel:

4x² – 8x = 0

1. Schritt: Herausheben

x * (4x – 8) = 0

 

2. Schritt: In zwei Gleichungen “zerfällen”

x = 0 ∨ 4x – 8 = 0

 

3. Schritt: 1. Gleichung

x = 0 ⇒ x1 = 0

 

4. Schritt: 2. Gleichung

4x – 8 = 0  / + 8

4x = 8 / : 4

x = 2 ⇒ x2 = 2

 

5. Schritt: Lösungsmenge bilden

L = {0; 2}

 

PDF-Blätter:


Quadratische Gleichungen Merkblatt

Quadratische Gleichungen Übungsblatt