Definition:


Quadratische Gleichungen mit 1 Variablen haben die allgemeine Form ax² + bx + c = 0 für die gilt: a, b, c ∈ ℝ und ≠ 0

Eine quadratische Gleichung ist zudem eine Gleichung zweiten Grades, d.h. ihre Variable x kommt in keinem höheren Grad als in der zweiten Potenz vor.

 

Bestandteile:


ax² = quadratisches Glied

bx = lineares Glied

c = konstantes Glied

 

Lösungsformen im Überblick:


ax² + bx + c = 0  ⇒  Mitternachtsformel

ax² + bx + c = 0  und  a = + 1  ⇒  pq-Formel 

ax² + bx = 0   ⇒  Herausheben

ax² + c = 0   ⇒  Wurzelziehen

ax²  = 0   ⇒  Lösung ist immer 0

 

Mitternachtsformel (abc-Formel) für ax² + bx + c = 0


Mit der Mitternachtsformel lösen wir allgemeine quadratische Gleichungen der Form ax² + bx + c = 0

Die Diskriminante (b² - 4ac) entscheidet über die Anzahl der Lösungen der quadratischen Gleichung

a) D > 0  d.f. 2 Lösungen        L = {x1; x2}  da zwei Schnittpunkte mit der x-Achse

b) D = 0  d.f. 1 Lösung            L = {x}   da ein Berührungspunkt mit der x-Achse

c) D < 0  d.f.  keine Lösung     L = { }  da kein Schnittpunkt mit der x-Achse

 

Beispiel:

gegeben: 6x² - 17x + 12  =  0      Grundmenge = ℝ 

gesucht: x1, x2

1. Schritt: Variablen definieren

a = + 6, b = - 17 und c = + 12

 
2. Schritt: Mitternachtsformel

3. Schritt: Wir bestimmen x1 und x2:

x1 = (+17 + 1) : 12 x1 = 18/12    x1 = +1,5

x2 = (+17 - 1) : 12 x1 = -16/22  x2 = 4/3

L = {+4/3;+1,5}

 

pq-Formel für ax² + bx + c = 0


Ist a = +1 spricht man von der Normalform einer quadratischen Gleichung.

Hier kann die pq-Formel angewendet werden.

Mit der pq-Formel können wir Gleichungen nach dem Muster  x² + px + q = 0 lösen.
 
Die Diskriminante (p/2)² - q entscheidet über die Anzahl der Lösungen der quadratischen Gleichung

a) D > 0  d.f. 2 Lösungen       L = {x1; x2}  da zwei Schnittpunkte mit der x-Achse

b) D = 0  d.f. 1 Lösung           L = {x}   da ein Berührungspunkt mit der x-Achse

c) D < 0  d.f. keine Lösung     L = { }  da kein Schnittpunkt mit der x-Achse

 

Beispiel:

x² + 3x - 10 = 0      Grundmenge = ℝ

gesucht: x1, x2

1. Schritt: Bestimmung von p und q

p = +3  q = - 10

2. Schritt: pq-Formel

3. Schritt: Lösungsmenge bestimmen

x1 = - 1,5 - 3,5 = - 5

x2 = - 1,5 + 3,5 = + 2

L = { -5; +2}

 

Sonderfall ax² + c = 0:  


Hier fehlt das lineare Glied bx.

Lösungsmethode: Wurzelziehen

Beispiel:

2x² - 32  = 0   / : 2  

x² - 16  = 0 / + 16  

x² = 16 / √  

x1,2 = +/- 4

 

Sonderfall ax² + bx = 0:  


Hier fehlt das konstante Glied c

Lösungsmethode: Herausheben

Beispiel:

4x² - 8x = 0

1. Schritt: Herausheben

x * (4x - 8) = 0

2. Schritt: In zwei Gleichungen "zerfällen"

x = 0 ∨ 4x - 8 = 0

3. Schritt: 1. Gleichung

x = 0 x1 = 0

4. Schritt: 2. Gleichung

4x - 8 = 0  / + 8

4x = 8 / : 4

x = 2 x2 = 2

5. Schritt: Lösungsmenge bilden

L = {0; 2}

 

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