Search
Close this search box.
Search
Close this search box.

Mitternachtsformel verständlich erklärt

Definition: Mitternachtsformel


Die Mitternachtsformel wird hinsichtlich ihrer drei Variablen auch abc-Formel genannt.

Mit ihr können Gleichungen der allgemeinen quadratischen Form ax² + bx + c = 0 gelöst werden.

Voraussetzung: a, b, c ∈ ℝ und a ≠ 0

Mitternachtsformel

 

Formel:


Die Mitternachtsformel wird folgendermaßen gebildet:

 
Mitternachtsformel

Fallunterscheidungen:


Die Diskriminante (b² – 4ac) entscheidet über die Anzahl der Lösungen der quadratischen Gleichung

 

a) D > 0 d.f. 2 Lösungen       

Wenn das Ergebnis der Diskriminante größer als Null ist (positive Zahl), erhalten wir zwei Lösungen. 

L = {x1; x2}  da zwei Schnittpunkte mit der x-Achse

 

b) D = 0 d.f. 1 Lösung           

Wenn das Ergebnis der Diskriminante gleich Null ist, erhalten wir eine Lösung.

L = {x}   da ein Berührungspunkt mit der x-Achse

 

c) D < 0 d.f.  keine Lösung   

Wenn das Ergebnis der Diskriminante kleiner als Null ist (negative Zahl), erhalten wir keine Lösungen. 

L = { }  da kein Schnittpunkt mit der x-Achse

 

Beispiel:


gegeben: 4x² + 8x – 60 = 0    Grundmenge = ℝ

gesucht: x1, x2

 

1. Schritt: Variablen definieren

a = + 4, b = + 8 und c = -60

 

2. Schritt: Mitternachtsformel

Mitternachtsformel Beispiel

3. Schritt: Wir bestimmen x1 und x2

x1 = (- 8 + 32) : 8

⇒ x1 = 24/8

⇒ x1 = +3

 

x2 = (- 8 – 32) : 8

⇒ x2 = -40/8

 x2 = -5

L = {- 5; + 3}

 

4. Schritt:

Probe mit x1 = + 3

4 • 3² + 8 • 3 – 60 = 0

36 + 24 – 60 = 0

d.f. wahre Aussage

 

Probe mit x2 = -5

4 • (-5)² + 8 • (-5) – 60 = 0

100 – 40 – 60 = 0

d.f. wahre Aussage