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Textgleichung Leistungsaufgaben AHS

Textgleichung Leistungsaufgaben AHS:


Bei Leistungsaufgaben geht es darum, dass Maschinen, Pumpen etc. mit einer unterschiedlichen Leistung jetzt eine Arbeit gemeinsam verrichten sollen.

Da die zu verrichtende Arbeit gleich bleibt und gleich 1 gesetzt wird, wird die Leistungsfähigkeit der Maschinen als Bruchteil an der Gesamtarbeit definiert. 

 

Beispiel: 


Eine Wasserpumpe füllt ein Becken alleine in 8 Stunden, eine zweite Pumpe würde alleine 12 Stunden brauchen und wird 2 Stunden später eingesetzt, eine dritte Pumpe, die alleine 6 Stunden brauchen würde, wird eine weitere Stunde später eingesetzt.

Wie lange würden alle drei Pumpen zusammen brauchen?

 

1. Wir definieren die Arbeitsleistung der Pumpen

F = Füllung des Wasserbeckens  

x = Zeit, die benötigt wird, um das Wasserbecken gemeinsam zu füllen.

Zeit, die die erste Pumpe alleine für die Arbeit benötigen würde: F/8 * x  

Zeit, die die zweite Pumpe alleine für die Arbeit benötigen würde: F/12 * (x – 2)

Zeit, die die dritte  Pumpe alleine für die Arbeit benötigen würde: F/6 * (x – 3)

 

2. Wir stellen eine Gleichung auf:

 F/8 * x + F/12 * (x – 2) + F/6 * (x – 3) = F
 
3. Wir lösen die Gleichung:
 
Wir eliminieren F:
 
 F/8 * x + F/12 * (x – 2) + F/6 * (x – 3) = F      / : F
 
 1/8 * x + 1/12 * (x – 2) + 1/6 * (x – 3) = 1      
 
Wir eliminieren den Nenner:
 
 1/8 * x + 1/12 * (x – 2) + 1/6 * (x – 3) = 1      / * 24
 
3x + 2 * (x – 2) + 4 * (x – 3) = 24
 
Wir berechnen x:
 
3x + 2 * (x – 2) + 4 * (x – 3) = 24

 
3x + 2x – 4 + 4x – 12 = 24 
 
9x – 16 = 24    / + 16 
 
9x = 40   / : 9 
 
x = 4,44… h  4 h 27 min   (0,444… * 60 = 26,666.. min)
 
A: Alle drei Pumpen zusammen würden 4 h 27 min benötigen.