Definition:


Lineare Gleichungen haben die Form:

ax + b = 0

für die gilt: a, b ∈ ℝ  und a ≠ 0.

Bestandteile:

ax = lineares Glied

b = konstantes Glied

 

Lösung einer Gleichung: 


Die Gleichung enthält eine Variable (Platzhalter).  

Für diese muss die Zahl gefunden werden, die die Gleichheit der Terme erfüllt.

Die Lösungsmenge wird mittels Äquivalenzumformungen ermittelt.

 
Dabei ergeben sich 3 Möglichkeiten:

1. Genau eine Zahl ist Teil der Lösungsmenge:  

    z.B. x = 4 d.f. L = {4}

2. Keine Zahl ist Teil der Lösungsmenge:  

    z.B. 4 = 9  d.f. L = {}

3. Alle Zahlen sind Teil der Lösungsmenge:  

    z.B. 4 = 4  d.f. L = {Definitionsmenge}

 

Äquivalenzumformungen:


Mithilfe von Äquivalenzumformungen kann man Gleichungen vereinfachen bzw. lösen, ohne dass die zugrunde liegende "Behauptung" der Gleichung abgeändert wird.

Bei Äquivalenzumformungen wird die linke und die rechte Seite auf die gleiche Weise abgeändert.

Diese Abänderung muss umkehrbar sein. 

Quadrieren oder Wurzelziehen sind hingegen keine Äquivalenzuformungen. 

Beispiel für eine Äquivalenzumformung: 

4x + 2 =  2x + 4    / - 2  (subtrahieren) 

4x + 2 - 2 = 2x + 4 - 2

4x = 2x + 2

 

Beispiel 1:


5x + 8 = 2x - 1     

Lösung:

5x + 8 = 2x - 1               / - 2x 

5x - 2x + 8 = 2x - 1       Zusammenfassen

3x + 8 = - 1                   / - 8 

3x + 8 - 8 = - 1 - 8        Zusammenfassen

3x = - 9                         / : (3) 

x  = - 3

Probe: 

5 * (- 3) + 8 = 2 * (- 3) - 1

- 15 + 8 = - 6 - 1 

- 7 = - 7 w.A. 

 

Beispiel 2:


(3x + 2)² - (4 - 3x) * (-2x - 5) = 2 (x - 5)² - x (-7 - x) + 10
 
Lösung:
 
(3x + 2)² - (4 - 3x) * (-2x - 5) = 2 (x - 5)² - x (-7 - x) + 10
 
1. Schritt: Wir berechnen die binomischen Formeln
 
9x² + 12x + 4 - (-8x + 6x² - 20 + 15x) = 2 * (x² - 10x + 25) + 7x + x² + 10
 
2. Schritt: wir lösen die Klammern auf
 
9x² + 12x + 4 + 8x - 6x² + 20 - 15x = 2x² - 20x + 50 + 7x + + 10
 
3. Schritt: Wir fassen pro Seite zusammen
 
3x² + 5x + 24 = 3x² - 13x + 60   / - 3x²
 
4. Schritt: Durch Äquivalenzumformungen berechnen wir x
 
+5x + 24 = - 13x + 60   / + 13x
 
18x + 24 = 60   / - 24
 
18x = 36   / : 18
 
x = 2 ⇒  L = {2}
 
5. Schritt: Probe Wir setzen für x die errechnet Lösung 2 ein

(3x + 2)² - (4 - 3x) * (-2x - 5) = 2 * (x - 5)² - x * (- 7 - x) + 10

(3 * 2 + 2)² - (4 - 3 * 2) * (- 2 * 2 - 5) = 2 * (2 - 5)² - 2 * (- 7 - 2) + 10

(6 + 2)² - (4 - 6) * (- 4 - 5) = 2 * (- 3)² - 2 *  (- 9) + 10

8² - (- 2) * (- 9) = 2 * (- 3)² + 18 + 10

64 - (+ 18) = 2 * 9 + 28 

64 - 18 = 18 + 28 

46 = 46 w.A.