Search
Close this search box.
Search
Close this search box.

Bruchgleichungen Definition, Lösung und Beispiel

Definition einer Bruchgleichung:


Unter einer Bruchgleichung versteht man die Gleichheit zweier Terme, die durch das Gleichheitszeichen (=) in eine Beziehung gesetzt werden.

Mindestens einer dieser Terme sollte ein Bruchterm sein, der im Nenner eine Variable enthält.  

Beispiel:        8    =   2
                   x – 2       x
 
Bruchgleichungen
 

Definitionsmenge:


Die Definitionsmenge einer Bruchgleichung umfasst meist die Grundmenge der rationalen Zahlen (ℚ), oder der reellen Zahlen (ℝ), außer diejenigen Zahlen, die beim Einsetzen in die Variable des Nenners, diesem den Wert 0 zuordnen.

 

Hauptnenner einer Bruchgleichung:


Durch die Multiplikation mit einem Hauptnenner kann die Bruchgleichung in eine nennerfreie Gleichung überführt werden. 

Man zerlegt dafür die gegebenen Nenner durch Herausheben und unter Anwendung der binomischen Formeln.

 

Lösungsmenge einer Bruchgleichung:


Die Menge aller Zahlen, die Bestandteile der Definitionsmenge sind und die Bruchgleichung in eine wahre Aussage überführen, bilden die Lösungsmenge. 

Diese wird in einer geschwungenen Klammer angeschrieben.

z.B. L = { 2 }

 

Probe einer Bruchgleichung:


Die ermittelte Lösung wird in die Grundgleichung eingesetzt, um zu überprüfen, ob es eine wahre Aussage ergibt.  

  =  4       Lösung = { 2 }
x  
 
8  = 4        d.f.   4 = 4 w.A.
2  
 

Schritte für die Lösung einer Bruchgleichung:


1. Wir bestimmen die Definitionsmenge (die Nenner in der Gleichung müssen ungleich 0 sein).

2. Wir zerlegen alle Nenner und bilden einen Hauptnenner.

3. Wir multiplizieren die Gleichung mit dem Hauptnenner und erweitern alle Brüche.

4. Wir berechnen die Unbekannte(n).

5. Wir vergleichen die Lösungen mit der Definitionsmenge und schreiben die Lösungsmenge an.

6. Mit der Probe, wo wir die Variable durch die berechnete Lösung ersetzen, überprüfen wir das Ergebnis.

 

Beispiel:


      x              =  1          Grundmenge: ℚ
x² + 2x + 1         x
   
1. Schritt: Definitionsmenge

x + 1 ≠  0 / – 1   

d.f.  x ≠  – 1   und x ≠ 0        

d.f. D = ℚ {-1;0}

 

2. Schritt: Bestimmung des Hauptnenners:

blau = Erweiterungen

Nenner: x² + 2x + 1  = (x + 1)²  x                    

Nenner: x  (x + 1)² 

d.f. Hauptnenner: x (x + 1)²   

 
3. Schritt: Gleichung mit Hauptnenner multiplizieren
 
      x             =  1        / *   x (x + 1)² 
x² + 2x + 1        x
 
 
4. Schritt: Erweitern und berechnen von x

x  * x  = 1 * (x + 1)²

x²  = x² + 2x + 1      / – x²

0 = 2x + 1  / – 1

2x = – 1  / : 2

x = – 0,5

 
5. Schritt: Vergleich der Lösungen mit der Definitionsmenge

Das Ergebnis x = – 0,5 wird von der Definitionsmenge nicht ausgeschlossen.    

d.f.  L = {-0,5}

 

Übungen:


Bruchgleichung Hauptnenner, Lösungsmenge und Probe Übung

Bruchgleichung Definition und Definitionsmenge Übung

  

PDF-Übungsblätter:


Bruchgleichungen Überblick Merkblatt

Bruchgleichungen Überblick Übungsblatt