Definition: Gleichung der Kugel
Die Kugel wird definiert, als die Menge aller Punkte X des Raumes, die von einem gegebenen Punkt M (Mittelpunkt der Kugel) den konstanten Abstand r (Radius der Kugel) haben.
Formel:
k [M;r] = { X | XM = r }
Erklärung:
k = Kugel
M = Mittelpunkt
r = Radius der Kugel
X = alle Punkte
XM = Strecke XM
Kugelgleichung mit dem Mittelpunkt im Ursprung:
Wir unterscheiden in der Darstellung zwischen:
a) Koordinatenform:
k: x² + y² + z² = r²
b) Vektorform:
k: ² = r²
Kugelgleichung mit dem Mittelpunkt außerhalb des Ursprungs:
Wir unterscheiden in der Darstellung zwischen:
a) Koordinatenform:
k: (x - xM)² + (y - yM)² + (z - zM)² = r²
b) Vektorform:
k: ( - )² = r²
Beispiel:
Aufgabe:
Gib die Gleichung des Kugel k {M (+2/-1/+4) r = 3] in Koordinatenform und Vektorform an und vereinfache diese Gleichungen.
Lösung:
1. Koordinatenform:
k: (x – xM)² + (y – yM)² + (z – zM)² = r²
(x – 2)² + (y + 1)² + (z – 4)² = 5²
x² – 4x + 4 + y² + 2y + 1 + z² – 8z + 16 = 25
x² + y² + z² – 4x + 2y – 8z + 21 = 25 / – 25
x² + y² + z² – 4x + 2y – 8z – 4 = 0
2. Vektorenform:
k: ( – )² = r²
Nebenrechnung:
Test:
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Gleichung der Kugel Übungsblatt