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Gleichung der Kugel

Definition: Gleichung der Kugel  


Gleichung der Kugel

 

Die Kugel wird definiert, als die Menge aller Punkte X des Raumes, die von einem gegebenen Punkt M (Mittelpunkt der Kugel) den konstanten Abstand r (Radius der Kugel) haben.

 

Formel:


Eine Kugel wird folgendermaßen definiert:
 
k [M;r] = { X | XM = r }
 

Erklärung:

k = Kugel

M = Mittelpunkt

r = Radius der Kugel

X = alle Punkte

XM = Strecke XM

 

Kugelgleichung mit dem Mittelpunkt im Ursprung:


Wir unterscheiden in der Darstellung zwischen:

a) Koordinatenform: 

k: x² + y² + z² = r²

b) Vektorform:

k: ² = r²

 

Kugelgleichung mit dem Mittelpunkt außerhalb des Ursprungs:


Wir unterscheiden in der Darstellung zwischen:

a) Koordinatenform: 

k: (x - xM)² + (y - yM)² + (z - zM)² = r²

b) Vektorform:

k: ( - )²  = r²

 

Beispiel:


Aufgabe:

Gib die Gleichung des Kugel k {M (+2/-1/+4) r = 3] in Koordinatenform und Vektorform an und vereinfache diese Gleichungen.

Lösung:

1. Koordinatenform:

k: (x – xM)² + (y – yM)² + (z – zM)² = r²

(x – 2)² + (y + 1)² + (z – 4)² = 5² 

x² – 4x + 4 + y² + 2y + 1 + z² – 8z + 16 = 25 

x² + y² + z²  – 4x + 2y – 8z + 21 = 25   / – 25

x² + y² + z²  – 4x + 2y – 8z – 4 = 0

 

2. Vektorenform:

k: ()²  = r²

  Kugelgleichung-1b

Kugelgleichung-1c

 Kugelgleichung-1b

Nebenrechnung:

Kugelgleichung-1d

 

Test:


Gleichung der Kugel Test

 

PDF-Blätter zum Ausdrucken:


Gleichung der Kugel Merkblatt

Gleichung der Kugel Übungsblatt