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Kegelschnitt Hyperbelgleichung

Kegelschnitt Hyperbelgleichung:  


Die Hyperbel ist die Menge aller Punkte, deren Differenz für die zwei festen Punkte F1 und F2 (Brennpunkte) den konstanten Wert 2a aufweist. 

Kegelschnitte Hyperbelgleichung

 

Hyperbel der 1. Hauptlage:


Hyperbel der 1. Hauptlage

F1 (-e/0), F2 (e/0), A (-a/0), B (a/0), C (0/b), D (0/-b)  

e² = a² + b²

 

Formel der 1. Hauptlage:


Hyperbel Formel der 1. Hauptlage
 

Asymptoten der 1. Hauptlage:


Die Asymptoten verlaufen durch den Ursprung und haben den Anstieg ± b/a
 
Asymptote der 1. Hauptlage
                                                                                                                           

Beispiel:


Hyperbel in erster Hauptlage mit a = 6, b = 5

gesucht: Gleichung der Hyperbel, Scheitelpunkte, Brennpunkte und Asymptoten

Gleichung der Hyperbel:

b²x² – a²y² = a²b²

25x² – 36y² = 900

 

Scheitelpunkte:

A (-a/0), B (a/0), C (0/b), D (0/-b)  

A (-6/0), B (+6/0), C (0/5), D (0/-5)

 

Brennpunkte:

e² = a² + b²

e = √(6² + 5²)

e = ± √61  (nur + √61 kann eine Lösung sein)

⇒  F1 (- e/0), F2 (√e/0)

⇒  F1 (-√61/0), F2 (√61/0)

 

Asymptoten:

a1,2: y = ± b/a * x

a1,2: y =  ± 5/6 * x

 

Hyperbel der 2. Hauptlage:


Hyperbel in der 2. Hauptlage

F1 (0/-e), F2 (0/e), A (0/-a), B (0/a), C (-b/0), D (b/0)

e² = a² + b²

 

Formel der 2. Hauptlage:


Formel der 2. Hauptlage
 
Die Asymptoten verlaufen durch den Ursprung und haben den Anstieg ± a/b
Hyperbel Asymptote der 2. Hauptlage
            

Beispiel:


Hyperbel in zweiter Hauptlage mit a = 4, b = 3

gesucht: Gleichung der Hyperbel, Scheitelpunkte und Brennpunkte

 

Gleichung der Hyperbel:

– a²x² + b²y² = a²b²

-16x² + 9y² = 144

 

Scheitelpunkte:

A (0/-a), B (0/a), C (-b/0), D (b/0)

A (0/-4), B (0/4), C (-3/0), D (3/0)

 

Brennpunkte:

e² = a² + b²

e = √(4² + 3²)

e = ± 5  (nur + 5 kann eine Lösung sein)

F1 (0/-5), F2 (0/5)

 

Asymptoten:

a1,2: y = ± a/b * x

a1,2: y = ± 4/3 * x

 

Tests:


Hyperbel 1. Hauptlage Test

Hyperbel 2. Hauptlage Test

Hyperbel Berührbedingung Test

 

Merkblätter:


Hyperbel 1. Hauptlage Merkblatt

Hyperbel 2. Hauptlage Merkblatt

 

Übungsblätter:


Hyperbel 1. Hauptlage Übungsblatt

Hyperbel 1. und 2. Hauptbedingung 

Hyperbel 2. Hauptlage Übungsblatt