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Hyperbel Sekante, Passante, Tangente Übung 1

Aufgabe: Hyperbel Sekante, Passante, Tangente Übung 1


gegeben: Hyperbel in erster Hauptlage mit a = 5, b = 2

gesucht: Gleichung der Ellipse, Lagebeziehung zur Geraden g: x – 5y = 10

 

Lösung: Hyperbel Sekante, Passante, Tangente Übung 1


Ellipsengleichung der 1. Hauptlage:

b²x² – a²y² = a²b²

4x² – 25y² = 2² * 5²

4x² – 25y² = 100

hyp ∩ g

 

Dazu formen wir die Gerade g um:

x – 5y = 10   / + 5y – 10

5y = x – 10 /  : 5

y = (0,2x – 2) ⇒  y² = (0,2x – 2)²

 

4x² + 25y² = 100

4x² + 25 (0,2x – 2)² = 100

4x² + 25 * (0,04x² – 0,8x + 4) = 100 

4x² + x² – 20x + 100 = 100    / – 100

5x² – 20x = 0

 

Aufspaltung durch Herausheben:

5x² – 20x = 0  / : 5

x² –  4x = 0

x * (x – 4) = 0

 

1. Gleichung:

x = 0    ⇒  y = 0,2x – 2    ⇒  y = 0 – 2   ⇒ y = – 2

S1 (0/-2)

 

2. Gleichung:

x – 4 = 0   / + 4

x = 4    ⇒  y =  0,2x – 2    ⇒  y = 0,2*4 – 2   ⇒ y = -1,2

S2 (4/-1,2)

⇒ hyp ∩ g = {S1, S2 }

Die Gerade ist eine Sekante.