Aufgabe: Hyperbel Sekante, Passante, Tangente Übung 1
gegeben: Hyperbel in erster Hauptlage mit a = 5, b = 2
gesucht: Gleichung der Ellipse, Lagebeziehung zur Geraden g: x – 5y = 10
Lösung: Hyperbel Sekante, Passante, Tangente Übung 1
Ellipsengleichung der 1. Hauptlage:
b²x² – a²y² = a²b²
4x² – 25y² = 2² * 5²
4x² – 25y² = 100
hyp ∩ g
Dazu formen wir die Gerade g um:
x – 5y = 10 / + 5y – 10
5y = x – 10 / : 5
y = (0,2x – 2) ⇒ y² = (0,2x – 2)²
4x² + 25y² = 100
4x² + 25 (0,2x – 2)² = 100
4x² + 25 * (0,04x² – 0,8x + 4) = 100
4x² + x² – 20x + 100 = 100 / – 100
5x² – 20x = 0
Aufspaltung durch Herausheben:
5x² – 20x = 0 / : 5
x² – 4x = 0
x * (x – 4) = 0
1. Gleichung:
x = 0 ⇒ y = 0,2x – 2 ⇒ y = 0 – 2 ⇒ y = – 2
S1 (0/-2)
2. Gleichung:
x – 4 = 0 / + 4
x = 4 ⇒ y = 0,2x – 2 ⇒ y = 0,2*4 – 2 ⇒ y = -1,2
S2 (4/-1,2)
⇒ hyp ∩ g = {S1, S2 }
Die Gerade ist eine Sekante.