Integralrechnung Flächenberechnung Übung 1:
Im Punkt P (2/y) der Parabel y = 2x² + x – 1 wird die Tangente gezogen.
Bestimme das Flächenstück zwischen Kurve, Tangente und x-Achse.
Lösung:
1. Schritt: Berechnung der Tangente
f (2) = 9 d.f. P (2/9)
y´= 4x + 1
f ´(2) = 9
y = kx + d
9 = 9*2 + d d.f. d = – 9
d.f. y = 9x – 9
2. Schritt: Berechnung der Nullstellen
Parabel par: 0 = 2x² + x – 1 / : 2
x² + x/2 – 1/2
x1,2 = -1/4 +/- √ (0,25² + 1/2)
x1 = -0,25 + 0,75 = 0,5 d.f. N (0,5/0)
x2 = -0,25 – 0,75 = – 1 d.f. N (-1/0)
3. Schritt: Berechnung der Schnittpunkte
Parabel par ∩ Tangente tan
2x² + x – 1 = 9x – 9 / – 9x + 9
2x² – 8x + 8 = 0 / : 2
x² – 4x + 4 = 0 / Wir erkennen die 2. Binomische Formel
(x – 2)² = 0 / √
x – 2 = 0 / + 2
x = 2 (Schnittpunkt par ∩ tan)
4. Schritt: Berechnung des Flächeninhalts
Aus den obigen Berechnungen ergibt sich eine Obergrenze des bestimmten Intervalls von 2 und eine Untergrenze von 0,5 (siehe Skizze).
A2 = a * b : 2
A2 = 9 * 1 : 2
A2 = 4,5 FE
A = A1 – A2
A = 1,125 FE
Der Flächeninhalt beträgt 1,125 FE.