Integralrechnung Flächeninhalt berechnen Übung 1

Integralrechnung Flächenberechnung Übung 1:

Im Punkt P (2/y) der Parabel y = 2x² + x – 1 wird die Tangente gezogen.

Bestimme das Flächenstück zwischen Kurve, Tangente und x-Achse.

Lösung:

1. Schritt: Berechnung der Tangente

f (2) = 9  d.f.  P (2/9)

y´= 4x + 1

f ´(2) = 9

y = kx + d

9 = 9*2 + d         d.f. d = – 9

d.f. y = 9x – 9

2. Schritt: Berechnung der Nullstellen

Parabel par: 0 = 2x² + x – 1  / : 2

x² + x/2 – 1/2

x_1,2 = -1/4 +/- √ (0,25² + 1/2)

x₁ = -0,25 + 0,75 = 0,5    d.f. N (0,5/0) 

x₂ = -0,25 – 0,75 = – 1      d.f. N (-1/0)

3. Schritt: Berechnung der Schnittpunkte 

Parabel par ∩ Tangente tan

2x² + x – 1 = 9x – 9    / – 9x   + 9 

2x² – 8x  + 8 = 0   / : 2 

x² – 4x + 4  = 0   / Wir erkennen die 2. Binomische Formel

(x – 2)²  = 0   / √

x – 2 = 0   / + 2 

x = 2  (Schnittpunkt par ∩ tan)

4. Schritt: Berechnung des Flächeninhalts

Aus den obigen Berechnungen ergibt sich eine Obergrenze des bestimmten Intervalls von 2 und eine Untergrenze von 0,5 (siehe Skizze). 

A₂ = a * b : 2

A₂ = 9 * 1 : 2

A₂ = 4,5 FE

A = A₁ – A₂

A = 1,125 FE

Der Flächeninhalt beträgt 1,125 FE.