Aufgabe: Volumensrotation Schale Übung 1
Eine Schale hat die Form eines Drehparaboloids mit dem Randkreisdurchmesser 24 cm und der Tiefe 18 cm.
a) Welches Volumen V hat die Schale?
b) Bis zu welcher Höhe füllt 1 Liter diese Schale?
Lösung: Volumensrotation Schale Übung 1
1. Schritt: Wir stellen eine Parabelgleichung auf
Parabel (par): x² = 2py 2. Hauptlage
Wir setzen den Punkt P in die Gleichung ein.
144 = 2*p*18 / : 36
p = 4 cm
d.f. par: x² = 8y
2. Schritt: Volumensberechnung
Die obere Begrenzung des bestimmten Intervalls ist die Höhe des Trinkglases (18 cm).
Wir integrieren:
Vy = 8 * π * y²/2 [18;0]
Vy = 8 * π * 18²/2
Vy = 1 296π VE
A: Das Volumen der Schale beträgt 1 296*π VE.
3. Schritt: Wir berechnen die Höhe des Wasserstandes
Formel:
Wir integrieren und kürzen durch 2:
1000 = 4 * π * y²
Wir setzen h für y ein:
1000 = 4 * π * h²
Wir formen auf h um:
1000 = 4 * π * h² / : 4 : π √
h = 8,92 cm
A: Das Wasser reicht bis zu einer Höhe von 8,92 cm.