Search
Close this search box.
Search
Close this search box.

Volumensrotation Schale Übung 1

Aufgabe: Volumensrotation Schale Übung 1


Eine Schale hat die Form eines Drehparaboloids mit dem Randkreisdurchmesser 24 cm und der Tiefe 18 cm.

a) Welches Volumen V hat die Schale?     

b) Bis zu welcher Höhe füllt 1 Liter diese Schale?

 

Lösung: Volumensrotation Schale Übung 1


1. Schritt: Wir stellen eine Parabelgleichung auf

Volumensrotation Schale Übung 1

Parabel (par):  x² = 2py    2. Hauptlage

Wir setzen den Punkt P in die Gleichung ein.

144 = 2*p*18   / : 36

p = 4 cm

d.f.   par: x² = 8y

 

2. Schritt: Volumensberechnung

Die obere Begrenzung des bestimmten Intervalls ist die Höhe des Trinkglases (18 cm).

Volumensrotation Schale Übung 1b

Volumensrotation Schale Übung 1c

Volumensrotation Schale Übung 1d

Wir integrieren:

Vy = 8 * π * y²/2    [18;0]

Vy = 8 * π * 18²/2

Vy = 1 296π VE

 A: Das Volumen der Schale beträgt 1 296*π VE.

 

3. Schritt: Wir berechnen die Höhe des Wasserstandes

Formel:

Volumensrotation Schale Übung 1d

Wir integrieren und kürzen durch 2:

1000 = 4 * π * y²     

 

Wir setzen h für y ein: 

1000 = 4 * π * h²    

 

Wir formen auf h um:

1000 = 4 * π * h²       / : 4  : π  √

Volumensrotation Schale Übung 1e

h = 8,92 cm

A: Das Wasser reicht bis zu einer Höhe von 8,92 cm.