Unendliche geometrische Reihe:
Ob die Summenbildung einer unendlichen Folge möglich ist, hängt von ihrer Konvergenz (der Grenzwert ist hier eindeutig bestimmt) ab.
Konvergente Folge:
Ist eine unendliche Folge konvergent = |q| < 1, dann ist eine Summenbildung möglich.
Beispiel:〈 1,5 + 0,75 + 0,375, … 〉
Überprüfung:
q = b2 : b1
q = 0,75 : 1,5
q = 0,5 d.f. konvergent da |q| < 1
Divergente Folge:
Ist eine unendliche Folge divergent = |q| > 1, besitzt sie keine endliche Summe.
Beispiel:〈 3 + 4,5 + 6,75, .. 〉
Überprüfung:
q = b2 : b1
q = 4,5 : 3
q = 1,5 d.f. divergent da |q| > 1
Summenformel:
Für b + bq + bq² + bq³ + …. und q ∈ℝ und |q| < 1 gilt:
s = b1 • 1
(1 – q)
s = Summe aller geometrischen Folgen
b1 = erste geometrische Folge
q = Quotient von zwei geometrischen Folgen
Beispiel:
b1 = 4, q = 0,5
Berechne s
Lösung:
s = b1 • 1
(1 – q)
s = 4 • 1
(1 – 0,5)
s = 8
A: Die Summe dieser unendlichen geometrischen Reihe beträgt 8.
Tests:
Konvergente und divergente Folgen Test
Unendliche geometrische Reihe Summenformel
PDF-Blätter zum Ausdrucken:
Unendliche geometrische Reihe Aufgabenblatt