Monotonieverhalten von Folgen:
In der Mathematik gibt die Beziehung zwischen den einzelnen Folgen Auskunft über das Monotonieverhalten einer Folge.
isoton vs. antiton:
Wird der Wert der Folgen größer, dann ist sie monoton steigend (isoton), wenn hierbei kein konstanter Wert vorkommt, sogar streng monton wachsend.
Wird der Wert der Folgen kleiner, dann ist sie monoton fallend (antition), wenn hierbei kein konstanter Wert vorkommt, sogar streng monoton fallend.
Arten von Monotonien:
Wir unterscheiden verschiedene Monotonien von Folgen:
a) streng monoton wachsende Folgen:
an < an+1 ∀ n ∈ ℕ Beispiel: 〈3, 6, 9, 12, 15, … 〉
b) monoton wachsende Folgen:
an ≤ an+1 ∀ n ∈ ℕ Beispiel: 〈1, 1, 3, 5, 8, … 〉
c) Streng monoton fallende Folgen:
an > an+1 ∀ n ∈ ℕ Beispiel: 〈1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, … 〉
d) Monoton fallende Folgen:
an ≥ an+1 ∀ n ∈ ℕ Beispiel: 〈1, 1, 9/11, 2/3, 5/9, … 〉
e) Konstante Folgen:
an = an+1 ∀ n ∈ ℕ Beispiel: 〈5, 5, 5, 5, 5 … 〉
Konstante Folgen sind sowohl monoton fallend wie steigend!
Beweis des Monotonieverhaltens:
Was für ein Monotonieverhalten weist folgende Folge auf?
〈 4n/(2n + 1) 〉
1. Schritt: Wir stellen eine Vermutung auf und setzen für n die Werte 1, 2 und 3 ein.
4 * 1 = 4/3
(2 * 1 + 1)
4 * 2 = 8/5
(2 * 2 + 1)
4 * 3 = 12/7
(2 * 3 + 1)
Vermutung: die Folge 〈4/3, 8/5, 12/7,…〉 ist streng monoton wachsend
2. Schritt: Beweis an < an + 1
4n < 4 (n + 1)
(2n + 1) (2 (n + 1) + 1)
4n < 4n + 4 / * (2n + 1) * (2n + 3)
(2n + 1) (2n + 3)
4n * (2n + 3) < (4n + 4) * (2n + 1)
8n² + 12n < 8n² + 8n + 4n + 4
8n² + 12n < 8n² + 12n + 4
w.A. ∀ n ∈ ℕ
Die rechte Seite ist immer um 4 größer als die linke Seite.
Die vorliegende Folge ist streng monoton wachsend.
Tests:
Monotonieverhalten bestimmen Test
Monotonieverhalten Folgen Arten Test
Monotonieverhalten von Folgen Test