Quadratische Funktion Nullstellen, Scheitelpunkt, Fixpunkte 2

Aufgabe: Quadratische Funktion Nullstellen, Scheitelpunkt, Fixpunkte 2

gegeben: f (x) = -x² – 4x + 5 Grundmenge = ℝ

a) Nullstellen

b) Fixpunkte

c) Scheitelpunkt

d) graphische Lösung

Lösung: Quadratische Funktion Nullstellen, Scheitelpunkt, Fixpunkte 2

a) Nullstellen bestimmen:

1. Schritt: Variablen definieren

a = – 1, b = – 4 und c = + 5

2. Schritt: Mitternachtsformel

3. Schritt: Bestimmen von x₁ und x₂

x₁ = (+ 4 + 6) : 2

⇒ x₁ = +10/2

⇒ x₁ = 5

x₂ = (+ 4 – 6) : 2

⇒ x₂ = -2/2

⇒ x₂ = -1

d.f. Nullstellen: N₁ (-1/0) und N₂ (+5/0)

b) Fixpunkte bestimmen:

Vorgangsweise: Wir ersetzen y durch x

1. Schritt: Wir ersetzen y durch x und und stellen die linke Seite auf 0

x = -x² – 4x + 5 / – x

0 = -x² – 5x + 5

2. Schritt: Variablen definieren

a = -1, b = – 5 und c = + 5

3. Schritt: Mitternachtsformel

4. Schritt: Bestimmen von x₁ und x₂

x₁ = (+5 + 6,708) : (-2)

⇒ x₁ = +11,707/(-2)

⇒ x₁ = -5,854

x₂ = (+5 – 6,708) : (-2)

⇒ x₂ = -1,708/(-2)

⇒ x₂ = +0,885

da x = y gilt, sind die Werte für die jeweiligen y-Werte identisch mit den x-Werten

d.f. Fixpunkte: F₁ (-5,854/-5,854) und F₂ (+0,885/+0,885)

c) Scheitelpunkt bestimmen:

1. Schritt: Bestimmung vom x-Wert des Scheitelpunkts

y = -x² – 4x + 5

d.f. a = 2 b = – 4

S_x = -b/2a

S_x = +4/(2 * (-1))

S_x = -2

2. Schritt: Bestimmung vom y-Wert des Scheitelpunkts

Wir setzen den obigen x-Wert in die Grundfunktion ein

S_y = -x² – 4x + 5

S_y = – (-2)² – 4*(-2) + 5

S_y = – 4 + 8 + 5

S_y = +9

d.f. Scheitelpunkt S (-2/9)

d) Graphische Lösung: