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Quadratische Funktion Überblick

Quadratische Funktion:


Funktionen der Art f (x) = ax² + bx + c  für die gilt: a, b, c ∈ ℝ mit a ≠ 0 sind quadratische Funktionen.

Der dabei entstehende Graph ist eine Parabel:

 

Quadratische Funktion
 

Parameter a, b, c:


a) Parameter a:

Durch die Veränderung des Parameters a kann die Funktion gestreckt, gestaucht oder an der x-Achse gespiegelt werden. 

Es gelten folgende Zusammenhänge:

 

a > 0 → Die Parabel ist nach oben geöffnet.

Parabel nach oben geöffnet

 

a < 0 → Die Parabel ist nach unten geöffnet.

Parabel nach unten geöffnet

 

|a| < 1 → Die Parabel ist in Richtung der y-Achse gestaucht (erscheint breiter).  

Parabel gestaucht

Abb. Wikipedia

 

|a| > 1 → Die Parabel ist in Richtung y-Achse gestreckt (erscheint schmaler und steiler). 

Parabel gestreckt

Abb. Wikipedia

 

– a (Vorzeichenwechsel)   →  Spiegelung der Parabel an der x-Achse.

 
 Parabel gespiegelt Abb. Wikipedia
  
 
b) Parameter b:

Der Parameter b bestimmt die Steigung der Parabel im Schnittpunkt der y-Achse.

b + 1 → dann wird der Graph um 1/2a nach links und um (2b + 1) / 4a nach unten verschoben.

b – 1 → dann wird der Graph um 1/2a nach rechts und um (2b + 1)/ 4a nach oben verschoben.  

 
c) Parameter c:

Wird der Parameter c verändert, so bewirkt dies eine Verschiebung in die y-Richtung:

c + 1 → dann wird der Graph um eine Einheit nach oben verschoben

c – 1 →  dann wird der Graph um eine Einheit nach unten verschoben

 

Diskriminante:


Vorbemerkung:

Die Diskriminante (b² – 4ac) oder (p/2)² – q entscheidet über die Anzahl der Lösungen der quadratischen Gleichung

 

a) D > 0  d.f. 2 Lösungen   L = {x1; x2}  da zwei Schnittpunkte mit der x-Achse
 
Parabel Diskriminante 2 Lösungen
 
 
b) D = 0  d.f. 1 Lösung    
 
L = {x}   da ein Berührungspunkt mit der x-Achse
 
Parabel Diskriminante 1 Lösung
 
 
c) D < 0  d.f.  keine Lösung    
 
L = { }  da kein Schnittpunkt mit der x-Achse
 
Parabel Diskriminante keine Lösung
 

Berechnung der Nullstellen:


a) Mitternachtsformel  wird angewendet bei y = ax² + bx + c 
 
Parabel Mitternachtsformel
 

b) pq-Formel wird angewendet bei: y = x² + px + c 
 
Parabel pq-Formel
 
 

Minimum/Maximum (Scheitelpunkt):


Definition:

Der Scheitelpunkt ist entweder:

– der tiefste Punkt (absolute Minimum) einer Parabel, die nach oben geöffnet ist.

– der höchste Punkt (absolute Maximum) einer Parabel, die nach unten geöffnet ist.

 

Bei a < 0 liegt ein Maximum vor.

Die Parabel öffnet sich nach unten. 

 

Bei a > 0 liegt ein Minimum vor.

Die Parabel öffnet sich nach oben. 

 

a) Berechnung mit der Scheitelpunktformel:

Liegt die Funktion in der Scheitelpunktform vor, können die Koordinaten des Scheitelpunktes direkt abgelesen werden.

f (x) = a • (x – xs)² + ys   →  S (xs/ys)

 
b) Berechnung mit der 1. Ableitung:
 
Da es sich beim Scheitelpunkt immer um ein Minimum oder ein Maximum handelt kann er mit der 1. Ableitung berechnet werden:
 
f (x) = x² + px + c  
 
→   f´(x) = 2x + p     
 
→  x = –
              2
 
f (x) = ax² + bx + c  
 
→  f´(x) = 2ax + b  
 
→   x = –
              2a 
 
Der y-Wert des Scheitelpunktes wird errechnet, indem der oben errechnete x-Wert in die Grundfunktion eingesetzt wird.
 

Tests: