Definition quadratische Funktion:


Funktionen der Art y = ax² + bx + c  für die gilt: a, b, c ∈ ℝ mit a ≠ 0 sind quadratische Funktionen.

Der dabei entstehende Graph ist eine Parabel:

 
 

Parameter a, b, c:


a) Parameter a:

Durch die Veränderung des Parameters a kann die Funktion gestreckt, gestaucht oder an der x-Achse gespiegelt werden. 

Es gelten folgende Zusammenhänge:

a > 0 → Die Parabel ist nach oben geöffnet.

a < 0 → Die Parabel ist nach unten geöffnet.

|a| < 1 → Die Parabel ist in Richtung der y-Achse gestaucht (erscheint breiter).  

|a| > 1 → Die Parabel ist in Richtung y-Achse gestreckt (erscheint schmaler). 

- a (Vorzeichenwechsel)   →  Spiegelung der Parabel an der x-Achse.

 
 
b) Parameter b:

Der Parameter bestimmt die Steigung der Parabel im Schnittpunkt der y-Achse an.

b + 1 → dann wird der Graph um 1/2a nach links und um (2b + 1) : 4a nach unten verschoben.

b - 1 → dann wird der Graph um 1/2a nach rechts und um (2b + 1) : 4a nach oben verschoben.  

 
c) Parameter c:

Wird der Parameter c verändert, so bewirkt dies eine Verschiebung in die y-Richtung:

c + 1 → dann wird der Graph um eine Einheit nach oben verschoben

c - 1 →  dann wird der Graph um eine Einheit nach unten verschoben

 

Diskriminante:


Vorbemerkung:

Die Diskriminante (b² - 4ac) oder (p/2)² - q

entscheidet über die Anzahl der Lösungen der quadratischen Gleichung

 

a) D > 0  d.f. 2 Lösungen   L = {x1; x2}  da zwei Schnittpunkte mit der x-Achse
 
 
b) D = 0  d.f. 1 Lösung      L = {x}   da ein Berührungspunkt mit der x-Achse
 
 
c) D < 0  d.f.  keine Lösung     L = { }  da kein Schnittpunkt mit der x-Achse
 
 

Berechnung der Nullstellen:


a) Mitternachtsformel  wird angewendet bei y = ax² + bx + c 
 
b) pq-Formel wird angewendet bei: y = x² + px + c 
 
x_{1,2}=-frac{p}{2}pmsqrt{bigg(frac{p}{2}bigg)^2-q}
 

Minimum/Maximum (Scheitelpunkt):


Definition:
Der Scheitelpunkt ist entweder
- der tiefste Punkt (absolute Minimum) einer Parabel, die nach oben geöffnet ist.
  Bei a > 0 liegt ein Minimum vor. Die Parabel öffnet sich nach oben.
- der höchste Punkt (absolute Maximum) einer Parabel, die nach unten geöffnet ist.
  Bei a < 0 liegt ein Maximum vor. Die Parabel öffnet sich nach unten. 
 
a) Berechnung mit der Scheitelpunktformel:
Liegt die Funktion in der Scheitelpunktform vor, können die Koordinaten des Scheitelpunktes direkt abgelesen werden.
f (x) = a * (x - xs)² + ys      →  S (xs/ys)
 
b) Berechnung mit der 1. Ableitung:
 
Da es sich beim Scheitelpunkt immer um ein Minimum oder ein Maximum handelt kann er mit der 1. Ableitung berechnet werden:
 
f (x) = x² + px + c   →   f´(x) = 2x + p     →  x = -
                                                                            2
 
f (x) = ax² + bx + c   →  f´(x) = 2ax + b  →   x = -
                                                                            2a 
 
Der y-Wert des Scheitelpunktes wird errechnet, indem der oben errechnete x-Wert in die Grundfunktion eingesetzt wird.