Rentenrechnung Annuität unterjährig

Höhe einer Rate (Annuität) unterjährig

Beim Darlehen ist die Höhe des Barwerts bekannt und man muss hier die Höhe der einzelnen Raten (Annuität) ausrechnen.

Diese Annunität setzt sich zusammen aus den jährlichen Zinsen und der Tilgung des Darlehen.

Ebenso können Gewinne (z.B. Lottogewinne) nach dieser Berechnung in monatliche Renten aufgeteilt werden.

Definition Rente:

Unter einer Rente versteht man gleich hohe Raten, die in gleichen Zeitabständen fällig sind.

Bei unterjährigen Renten ist dieser Zeitabstand < 1 Jahr.

Die Auszahlung erfolgt halbjährlich, vierteljährlich oder monatlich.

Man muss sowohl den Zinssatz p als auch die Verzinsungsabschnitte n auf diesen Zeitabstand abstimmen.

Dabei unterscheidet man zwischen:

vorschüssige Rente: Die Rente ist am Anfang der zugehörigen Rentenperiode fällig.

nachschüssige Rente: Die Rente ist am Ende der zugehörigen Rentenperiode fällig.

Formeln:

a) Formel für die Berechnung der Ratenhöhe nachschüssig:

a = B • qⁿ • (q – 1)

qⁿ – 1

B = Barwert

a = Rate (Annuität)

q = Aufzinsungsfaktor

n = Verzinsungsabschnitte

b) Formel für die Berechnung der Ratenhöhe vorschüssig:

a = B • q^n-1 • (q – 1)

qⁿ – 1

B = Barwert

a = Rate (Annuität)

q = Aufzinsungsfaktor

n = Verzinsungsabschnitte

Beispiel:

Für die Rückzahlung eines Darlehens in der Höhe von € 20 000 wird eine Laufzeit von 8 Jahren und eine halbjährliche Verzinsung von 5% vereinbart.

Die Tilgung erfolgt jeweils am Ende des Monats. Wie hoch ist eine Rate (Annuität)?

Lösung:

1. Schritt: Wir definieren die Variablen:

am Ende des Monats = nachschüssig

Barwert (B) = € 20 000

Zeit: n = 5 Jahre * 12 = 60 Verzinsungsperioden

Aufzinsungsfaktor: q2 = 1 + (100 + 5) : 100 = 1,05

Wir brauchen hier die monatliche Verzinsung q₁₂ = ⁶√1,05 q₁₂ = 1,0081..

gesucht: monatliche Annuität (Höhe einer Rate) a = ?

2. Schritt: Wir berechnen die monatliche Annuität

a = Höhe einer Rate

B = Barwert

n = Verzinsungsperioden

q = Aufzinsungsfaktor

a = B * qⁿ * (q – 1)

(qⁿ – 1)

a = 20 000 * 1,0081…⁶⁰ * (1,0081…. – 1)

(1,0081⁶⁰ – 1)

a = 20 000 * 0,02114….

a = 422,95 €

A: Die monatliche Rückzahlungsrate beträgt 422,95 €.