Definition Zerfallsfunktion


Zerfallsfunktionen bilden exponentielle Abnahmeprozesse ab werden meist mit folgender Formel abgebildet. 

 

Graphische Darstellung: 


Nachstehend ist folgende Funktion abgebildet: f (x) = 5 * 0,5x

 

Zerfallsfunktionen haben folgende Eigenschaften:


Aus der obigen graphischen Darstellung mit der Funktion f (x) = 5 * 0,5lassen sich folgende allgemeingültige Aussagen für eine Zerfallsfunktion ableiten:

Sämtliche Funktionswerte sind positiv (liegen oberhalb der x-Achse).

Für 0 < a < 1  ist die Funktion streng monoton fallend (Abnahmefunktion)

Wird das Argument um 1 vergrößert, dann ändert sich der Funktionswert mit dem Faktor a:

f (x + 1) = f (x) * a 

Bei 0 < a < 1 nimmt f (x) mit wachsendem x immer schwächer ab

 

Halbwertszeit:


Die Halbwertszeit ist ein wichtiger Parameter für die Berechnung von Zerfallsfunktionen, da ihre Anwendung es ermöglicht, eine Variable der Abnahmefunktion zu eliminieren (Nt).

Der Zeitwert Nt wird definiert mit 0,5 * N0 (Halbierung des Ausgangswertes).

0,5 * N0 = N0 * a t       / : N0

d.f. 0,5 = a t  

 

Beispiel:


Ein radioaktives Element zerfällt mit der Halbwertszeit von 80 Tagen.

a) Wie lautet die Zerfallsfunktion?

b) Nach wie vielen Tagen sind noch 20% des radioaktiven Elements vorhanden?

 

Lösung:

a) Zerfallsfunktion:

1. Schritt: Wir definieren die Variablen:

Ausgangswert: N

Zeitwert: Nt = 0,5 * N0      (Halbierung des Ausgangswertes)

Zeitdauer der Halbierung: t =  80 Tagen

Maß für das Abnahme: a = ?  

2. Schritt: Wir berechnen a

Nt = N0 * at               

0,5 * N0 = N0 * a 80       / : N0
 
0,5 = a 80     /  80
 
a = 0,991 373 087
 
3. Schritt: Wir stellen eine Zerfallsfunktion auf:
 
Nt = N0 * 0,991 373 087...t
 
 

b) t für 20% des Ausgangswertes

1. Schritt: Wir definieren die Variablen:

Ausgangswert: N0 

Zeitwert: Nt0,2 * N0       (20% = 0,2) 

Zeitdauer: t = ? Tage

Maß für den Zerfall: a = 0,991 373 087...  

 
2. Schritt: Wir berechnen t

Nt = N0 * at               

0,2 * N0  = N* 0,991 373... t       / : N0
 
0,2  =  0,991 373... t      /  log (Zehnerlogarithmus) 
 
log 0,2 = t * log 0,991 373...  / : log 0,991 373.....
 
t = log 0,2              
     log 0,991 373... 
 
t = 185,75.. Tage  
 
A: Nach rund 186 Tage sind nur noch 20% des radioaktiven Elements vorhanden. .