Definition Wachstumsfunktion:


Wachstumsfunktionen bilden exponentionelles Wachstum ab und werden meist mit folgender Formel gebildet. 

 

Graphische Darstellung: 


Nachstehend ist folgende Funktion abgebildet: f (x) = 0,5 * 1,5x

 

Wachstumfunktionen haben folgende Eigenschaften:


Aus der obigen graphischen Darstellung mit der Funktion f (x) = 0,5 * 1,5lassen sich folgende allgemeingültige Aussagen für eine Wachstumsfunktion ableiten:

Sämtliche Funktionswerte sind positiv (liegen oberhalb der x-Achse).

Für a > 1 ist die Funktion streng monoton wachsend (Wachstumsfunktion)

Wird das Argument um 1 vergrößert, dann ändert sich der Funktionswert mit dem Faktor a:

f (x + 1) = f (x) * a 

Bei a > 1 wächst f (x) mit wachsendem x immer stärker

 

Verdoppelungszeit:


Die Verdopppelungszeit ist ein wichtiger Parameter für die Berechnung von Wachstumsfunktionen, da ihre Anwendung es ermöglicht, eine Variable der Wachstumsfunktion zu eliminieren (Nt).

Der Zeitwert Nt wird definiert mit 2 * N0 (Verdoppelung des Ausgangswertes)

2 * N0 = N0 * a t       / : N0

d.f. 2 = a t  

 

Beispiel:


Die Anzahl der Bakterien verdoppelt sich in 8 Stunden. 

a) Wie lautet die Wachstumsfunktion?

b) wann sind 100 000 Bakterien vorhanden, wenn es zu Beginn 500 waren?

 

Lösung:

a) Wachstumsfunktion:

1. Schritt: Wir definieren die Variablen:

Ausgangswert: N

Zeitwert: Nt = 2 * N0      (Verdoppelung des Ausgangswertes)

Zeitdauer der Verdoppelung: t =  8 Stunden 

Maß für das Wachstum: a = ?  

2. Schritt: Wir berechnen a

Nt = N0 * at               

2 * N0 = N0 * a 8       / : N0
 
2 =  a 8     /  8
 
a = 1,090 507 733
 
3. Schritt: Wir stellen eine Wachstumsfunktion auf:
 
Nt = N0 * 1,090 507...t
 
 

b) t für 100 000 Bakterien

1. Schritt: Wir definieren die Variablen:
 

Ausgangswert: N0 = 500

Zeitwert: Nt = 100 000

Zeitdauer: t = Stunden 

Maß für das Wachstum: a = 1,090 507...  

 
2. Schritt: Wir berechnen t

Nt = N0 * at               

100 000 = 500 * 1,090 507... t       / : 500
 
200 = 1,090 507... t       /  log (Zehnerlogarithmus) 
 
log 200 = t * log 1,090 507...  / : log 1,090 507... 
 
t = log 200            
     log 1,090 507... 
 
t = 61,15 Stunden
 
A: Nach 61,15 Stunden sind 100 000 Bakterien vorhanden.