Aufgabe: Kurvendiskussion Umkehraufgabe Übung 4
Der Graph einer Funktion 5. Grades ist symmetrisch zum Koordinatenursprung.
Sie hat den Wendepunkt W (1/3) und die Steigung der Wendetangente beträgt 17/3.
Lösung: Kurvendiskussion Umkehraufgabe Übung 4
1. Schritt: Wir ermitteln die Gleichung für f (x) und leiten sie ab
Vorbemerkung: Graphen, die punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung sind, haben keine geraden Exponenten bei x.
y = ax5 + bx³ + cx
y´ = 5ax4 + 3bx² + c
y´´ = 20ax³ + 6b
2. Schritt: Wir stellen die Gleichungen auf
Wendepunkt: f (1) = 0 ⇒ I. 3 = a + b + c
Wendepunkt f´´ (1) = 0 ⇒ II. 0 = 20a + 6b
Wendepunkt Steigung f´ (1) = k ⇒ III. 17/3 = 5a + 3b + c
3. Schritt: Wir berechnen a
Wir eliminieren c:
I. 3 = a + b + c / * (- 1)
III. 17/3 = 5a + 3b + c
I. – 3 = – a – b – c
III. 17/3 = 5a + 3b + c
8/3 = 4a + 2b
Wir berechnen a:
II. 0 = 20a + 6b
III – I. 8/3 = 4a + 2b / * (- 3)
II. 0 = 20a + 6b
III – I. 8 = -12a – 6b
– 8 = 8a / : (- 8)
a = – 1
4. Schritt: Wir berechnen b
Wir ersetzen a mit – 1:
II. 0 = 20 * (– 1) + 6b
0 = – 20 + 6b / + 20
20 = 6b / : 6
b = 10/3
5. Schritt: Wir berechnen c
Wir ersetzen a mit – 1 und b mit 10/3.
III. 17/3 = 5 * (– 1) + 3 * 10/3 + c
17/3 = – 5 + 10 + c
17/3 = + 5 + c / – 5 (153)
c = 2/3
6. Schritt: Wir stellen die Funktion auf:
f (x) = ax5 + bx³ + cx
f(x) = -x5 + 10/3x³ + 2/3x