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Kurvendiskussion Umkehraufgabe Übung 4

Aufgabe: Kurvendiskussion Umkehraufgabe Übung 4


Der Graph einer Funktion 5. Grades ist symmetrisch zum Koordinatenursprung. 

Sie hat den Wendepunkt W (1/3) und die Steigung der Wendetangente beträgt 17/3.

 

Lösung: Kurvendiskussion Umkehraufgabe Übung 4


1. Schritt: Wir ermitteln die Gleichung für f (x) und leiten sie ab
 
Vorbemerkung: Graphen, die punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung sind, haben keine geraden Exponenten bei x.
 
y = ax5 + bx³ + cx
 
y´ = 5ax4 + 3bx² + c
 
y´´ = 20ax³ + 6b

 
 
2. Schritt: Wir stellen die Gleichungen auf
 
Wendepunkt: f (1) = 0  ⇒   I.  3 = a + b + c
 
Wendepunkt  f´´ (1) = 0  ⇒   II.   0 = 20a + 6b
 
Wendepunkt Steigung  f´ (1) = k   ⇒   III.   17/3 = 5a + 3b + c 

 

3. Schritt: Wir berechnen a
 
Wir eliminieren c:
 
I.   3 = a + b + c                  / * (- 1)
 
III.  17/3 = 5a + 3b + c 
 
 
I.   – 3 = – a – b – c               
 
III.   17/3 = 5a + 3b + c 
 
         8/3 = 4a + 2b
 
 
Wir berechnen a:
 
II.          0 = 20a + 6b
 
III – I.     8/3 = 4a + 2b     / * (- 3)
              
 
II.          0 =   20a + 6b
 
III – I.   8 = -12a  – 6b     
 
             – 8 = 8a   / : (- 8)

 
               a = – 1
 
 
4. Schritt: Wir berechnen b
 

Wir ersetzen a mit – 1:
 
II.  0 = 20 * (– 1) + 6b

 
     0 = – 20 + 6b    / + 20
 
    20 = 6b    / : 6
 
      b = 10/3

 
 
5. Schritt: Wir berechnen c
 

Wir ersetzen a mit – 1 und b mit 10/3.
 
III.   17/3 = 5 * (– 1) + 3 * 10/3  + c 

       
    17/3 = – 5 + 10  + c 
 
    17/3 = + 5  + c    / – 5  (153)
 
     c = 2/3
 

 
6. Schritt: Wir stellen die Funktion auf:
 
f (x) = ax5 + bx³ + cx
 
f(x) = -x5 + 10/3x³ + 2/3x