Aufgabe: Kurvendiskussion Umkehraufgabe Übung 1
Ermittle die Funktion 3. Grades mit der Nullstelle N (3/0), dem Wendepunkt W (1/y) und der dazu gehörigen Wendetangente y = – 3x + 7
Lösung: Kurvendiskussion Umkehraufgabe Übung 1
1. Schritt: Wir ermitteln die Gleichung für f (x) und leiten sie ab
y = ax³ + bx² + cx + d
y´ = 3ax² + 2bx + c
y´´ = 6ax + 2b
2. Schritt: Wir ermitteln den Wendepunkt:
k = – 3
f (x) = k*x + d
f (1) = – 3 * 1 + 7
f (1) = 4
⇒ Wendepunkt W (1/4)
3. Schritt: Wir stellen die Gleichungen auf
Nullstelle: f (3) = 0 ⇒ I. 0 = 27a + 9b + 3c + d
Wendepunkt: f (1) = 4 ⇒ II. 4 = a + b + c + d
Wendepunkt Steigung: f´(1) = – 3 ⇒ III. – 3 = 3a + 2b + c
Wendepunkt: f´´(1) = 0 ⇒ IV. 0 = 6a + 2b
4. Schritt: Wir berechnen a
I – II: 0 = 27a + 9b + 3c + d
4 = a + b + c + d
– 4 = 26a + 8b + 2c / : 2
– 2 = 13a + 4b + c
– III. + 3 = – 3a – 2b – c
+ 1 = 10a + 2b
– IV. 0 = – 6a – 2b
1 = 4a / : 4
a = 1/4
5. Schritt: Wir berechnen b
Wir setzen in die IV. Gleichung a = 1/4 ein
0 = 6 * 1/4 + 2
0 = 3/2 + 2b / – 3/2
– 3/2 = 2b / : 2
b = – 3/4
6. Schritt: Wir berechnen c
Wir setzen in die III. Gleichung die Werte für a und b ein:
– 3 = 3a + 2b + c
– 3 = 3 * 1/4 + 2 * (- 3/4) + c
– 3 = 3/4 – 6/4 + c
– 3 = – 3/4 + c / + 3/4
c = – 9/4
7. Schritt: Wir berechnen d
Wir setzen in die II. Gleichung die Werte für a, b und c ein:
4 = a + b + c + d
4 = 1/4 – 3/4 – 9/4 + d
4 = – 11/4 + d / + 11/4
d = 27/4
8. Schritt: Wir stellen die Funktion auf:
f(x) = 1/4x³ – 3/4x² – 9/4x + 27/4
f(x) = 1/4 * (x³ – 3x² – 9x + 27)