Aufgabe: Kurvendiskussion Umkehraufgabe Fläche
gegeben: f (x) = – 1/4x³ + 3/2x²
Die gesuchte quadratische Funktion g (x) hat dieselben Nullstellen wie f (x) nämlich N1 (0/0) und N2 (6/0). Im Koordinatenursprung hat der Graph die Steigung k = – 3.
Ermittle die Gleichung von g, die Schnittpunkte beider Graphen. Berechne den Inhalt der Flächen, die von f (x) und g im 1. und 4. Quadranten eingeschlossen wird.
Lösung: Kurvendiskussion Umkehraufgabe Fläche
1. Schritt: Wir ermitteln g (x):
Wir stellen eine quadratische Funktion auf und leiten ab:
y = ax² + bx + c
y´= 2ax + b
y´´= 2a
I. f (0) = 0 d.f. c = 0
II. f (6) = 0 d.f. 0 = 36a + 6b
III. f´(0) = – 3 d.f. – 3 = b
0 = 36a – 18 d.f. a = 1/2
g (x) = 1/2x² – 3x
2. Schritt: Wir berechnen den Schnittpunkt beider Funktionen
f (x) = g (x)
– 1/4x³ + 3/2x² = 1/2x² – 3x / * 4
– x³ + 6x² = 2x² – 12x / + x³ – 6x²
x³ – 4x² – 12x = 0
x * (x² – 4x – 12) = 0
x = S1 (0/0)
x² – 4x – 12 = 0 / Vieta p = – 4 q = – 12
pq-Formel:
x2,3 = + 2 +/- 4
x2 = 2 – 4 → S2 (- 2/8)
x3 = 2 + 4 → S3 (6/0)
3. Schritt: Wir berechnen den Flächeninhalt:
A1 = – 1/16x4 + 1/2x³ [6;0]
A1 = 27 FE
A2 = 1/6x³ – 3/2x² [6;0]
A2 = /- 18 / = 18 FE
A = 27 FE + 18 E
A = 45 FE
A: Der Flächeninhalt beträgt 45 FE.