Aufgabe: Kurvendiskussion ausführlich Übung 5
Führe für folgende Funktion eine Kurvendiskussion durch:
f (x) = – 1/4x³ + 3/2x²
a) berechne die abgeleiteten Funktionen f´(x), f´´(x) und f´´´ (x)
b) erstelle den Graph der Funktion f (x)
c) berechne die Nullstellen
d) berechne die Extremstellen
e) berechne die Wendepunkte
f) berechne der Wendetangenten
g) bestimme das Monotonieverhalten
h) bestimme das Krümmungsverhalten
Lösung: Kurvendiskussion ausführlich Übung 5
a) Funktionen mit Ableitungen:
f (x) = – 1/4x³ + 3/2x²
f´ (x) = – 3/4x² + 3x²
f´´ (x) = – 3/2x + 3
f´´´ (x) = – 1,5
b) Graph der Funktion f (x)
Übersicht über die Nullstellen, Extremstellen und die Wendepunkte!
c) Berechnung der Nullstellen:
– 1/4x³ + 3/2x² = 0 / * 4
– x³ + 6x² = 0 / * (- 1)
x³ – 6x² = 0
x² * (x – 6) = 0
d.f. x² = 0
N1 (0/0) doppelte Nullstelle
x – 6 = 0
d.f. x = 6
N2 (6/0)
d) Berechnung der Extremstellen:
f´(x) = – 3/4x² + 3x
0 = – 3/4x² + 3x / * (- 4)
0 = 3x² – 12x / : 3
0 = x² – 4x
0 = x * (x – 4)
⇒ x1 = 0
⇒ x2 = 4
Ermittlung des y-Wertes für x1 mit f (0) = 0
f ´´ (-0) > 0
⇒ Tiefpunkt T (0/0)
Ermittlung des y-Wertes für x2 mit f (4) = 8
f´´ (4) = < 0
⇒ Hochpunkt T (4/8)
e) Berechnung des Wendepunktes
f´´ (x) = – 1,5x + 3
-1,5x + 3 = 0 / + 1,5x
3 = 1,5x / : 1,5
x = 2
Berechnung des y-Wertes:
d.f. f (2) = 4
W (2/4)
f) Berechnung der Wendetangente:
1. Schritt: Ermittlung der Steigung
Der x-Wert des Wendepunktes eingesetzt in die 1. Ableitung ergibt die Steigung der Tangente.
f ´(2) = 3 Steigung k = 3
2. Schritt: Ermittlung von d
y = k*x + d
4 = 2 * 3 + d / – 6
– 2 = d
3. Schritt: Aufstellung der Wendetangente
tw: y = 3x – 2
g) Monotonieverhalten:
– ∞ < x < 0 streng monoton fallend da f´ (x) < 0 (zum Tiefpunkt)
0 < x < 4 streng monoton steigend da f´ (x) > 0 (zum Hochpunkt)
4 < x < ∞ streng monoton fallend da f´ (x) < 0
h) Krümmungsverhalten:
– ∞ < x < 2 positiv gekrümmt da f´´ (x) > 0 (bis zum Wendepunkt)
2 < x < ∞ negativ gekrümmt da f´´ (x) < 0 (ab dem Wendepunkte)