Aufgabe: Kurvendiskussion ausführlich Übung 4
f (x) = 1/12x4 – 1/6x³ – x²
a) berechne die abgeleiteten Funktionen f´(x), f´´(x) und f´´´ (x)
b) erstelle den Graph der Funktion f (x)
c) berechne die Nullstellen
d) berechne die Extremstellen
e) berechne die Wendepunkte
f) berechne der Wendetangenten
g) bestimme das Monotonieverhalten
h) bestimme das Krümmungsverhalten
Lösung: Kurvendiskussion ausführlich Übung 4
a) Funktionen mit Ableitungen:
f (x) = 1/12x4 – 1/6x³ – x²
f´ (x) = 1/3x3 – 1/2x² – 2x
f´´ (x) = x2 – x – 2
f´´´ (x) = 2x – 1
b) Graph der Funktion f (x)
Übersicht über die Nullstellen, Extremstellen und die Wendepunkte!
c) Berechnung der Nullstellen:
1/12x4 – 1/6x³ – x² / * 12
0 = x4 – 2x³ – 12x²
0 = x² * (x² – 2x – 12)
d.f. x² = 0
d.f. N1 (0/0) doppelte Nullstelle
d.f. 0 = x² – 2x – 12 / Vieta p = – 2 q = – 12
pq-Formel:
x2,3 = + 1 +/- 3,61
x2 = + 1 – 3,61 = -2,61
d.f. N2 (-2,61/0)
x3 = + 1 + 3,61 = 4,61
d.f. N3 (4,61/0)
d) Berechnung der Extremstellen:
f´(x) = 1/3x3 – 1/2x² – 2x / * 6
0 = 2x³ – 3x² – 12x
0 = x * (2x² – 3x – 12) d.f. x = 0 ist keine Extremstelle
d.f. 0 = 2x² – 3x – 12 / : Vieta a = 2 b = – 3 c = – 12
0 = x² – 1,5x – 6
Mitternachtsformel:
3. Schritt: Bestimmen von x1 und x2
x1 = (+3 + 10,15) : 4 ⇒ x1 = 13,15/4 ⇒ x1 = +3,29
x2 = (+3 – 10,15) : 4 ⇒ x2 = -7,15/4 ⇒ x2 = -1,79
Ermittlung des y-Wertes für x1 mit f (-1,79) = -1,39
f ´´ (-1,79) > 0
⇒ Tiefpunkt T (-1,79/-1,39)
Ermittlung des y-Wertes für x2 mit f (3,29) = – 6,99
f´´ (3,29) = > 0
⇒ Tiefpunkt T (3,29/-6,99)
e) Berechnung der beiden Wendepunkte:
f´´ (x) = x² – x – 2 / Vieta mit p = – 1 q = – 2
pq-Formel:
x1,2 = + 0,5 +/- 1,5
x1 = + 0,5 -1,5 = – 1
y-Koordinate f (-1) = -0,75
d.f. W1 (-1/-0,75)
x2 = + 0,5 + 1,5 = 2
y-Koordinate f (2) = – 4
d.f. W2 (2/-4)
f) Berechnung der 1. Wendetangente:
1. Schritt: Ermittlung der Steigung
Der x-Wert des Wendepunktes eingesetzt in die 1. Ableitung ergibt die Steigung der Tangente.
f ´(-1) = k Steigung: k = 7/6
2. Schritt: Ermittlung von d
y = k*x + d
-0,75 = 7/6 * (- 1) + d
d.f. d = 5/12
3. Schritt: Aufstellung der Wendetangente
tw1: y = 7/6x + 5/12
f) Berechnung der 2. Wendetangente:
1. Schritt: Ermittlung der Steigung
Der x-Wert des Wendepunktes eingesetzt in die 1. Ableitung ergibt die Steigung der Tangente.
f´(2) = k Steigung: k = – 10/3
2. Schritt: Ermittlung von d
y = k*x + d
– 4 = – 10/3 * 2 + d
d.f. d = 8/3
3. Schritt: Aufstellung der Wendetangente
tw2: y = – 10/3x + 8/3
g) Monotonieverhalten:
– ∞ < x < – 1,79 streng monoton fallend da f´ (x) < 0 (zum 1. Tiefpunkt)
-1,79 < x < 0 streng monoton steigend da f´ (x) > 0 (zum Ursprung)
0 < x < 3,29 streng monoton fallend da f´ (x) < 0 (zum 2. Tiefpunkt)
3,29 < x < ∞ streng monoton steigend da f´ (x) > 0
h) Krümmungsverhalten:
– ∞ < x < -1 positiv gekrümmt da f´´ (x) > 0 (bis zum 1. Wendepunkt)
-1 < x < 2 negativ gekrümmt da f´´ (x) < 0 (vom 1. zum 2. Wendepunkt)
2 < x < ∞ positiv gekrümmt da f´´ (x) > 0 (ab dem 2. Wendepunkt)