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Kurvendiskussion ausführlich Übung 3

Aufgabe: Kurvendiskussion ausführlich Übung 3


Führe für folgende Funktion eine Kurvendiskussion durch:
 
f (x) = x³/3 – x² – 4x
 
a) berechne die abgeleiteten Funktionen f´(x), f´´(x) und f´´´ (x)
 
b) erstelle den Graph der Funktion f (x) 
 
c) berechne die Nullstellen
 
d) berechne die Extremstellen
 
e) berechne den Wendepunkt
 
f) berechne die Wendetangente
 
g) bestimme das Monotonieverhalten
 
h) bestimme das Krümmungsverhalten
 

Lösung: Kurvendiskussion ausführlich Übung 3


a) Funktionen mit Ableitungen:
 
f (x) =  x³/3 – x² – 4x
 
f´ (x) = x² – 2x  – 4
 
f´´ (x) = 2x – 2
 
f´´´ (x) = 2 

 
 
b) Graph der Funktion f (x)
 
Übersicht über die Nullstellen, Extremstellen und den Wendpunkt!

 Kurvendiskussion ausführlich Übung 3

 

c) Berechnung der Nullstellen:
 
0 = x³/3 – x² – 4x / * 3
 
0 = x³ – 3x² – 12x
 
0 = x * (x² – 3x – 12)
 
d.f.  x = 0  
 
d.f. N1 (0/0)
 
d.f. 0 = x² – 3x – 12     / Vieta    p = – 3    q = – 12
 
pq-Formel:
 
Kurvendiskussion Übung 2 pq-Formel
 

 
x2,3 = + 1,5 +/- 3,77
 
x2 = + 1,5 – 3,77 = -2,27  
 
d.f. N2 (-2,27/0)
 
x3 = + 1,5 + 3,77 = 5,27    
 
d.f. N3 (5,27/0)
 
 
d) Extremstellen (Hochpunkt und Tiefpunkt):
 
f´(x) = x² – 2x – 4      /   Vieta   p = – 2  q = – 4
 
pq-Formel:
 
pq-Formel Wendepunkt
 
 

x1,2 = + 1 +/- 2,24

 
d.f. x1 = 1 – 2,24 = – 1,24  
 
Ermittlung des y-Wertes mit f (-1,24) = 2,79
 
f ´´ (-1,24) < 0  
 
Hochpunkt   H (-1,24/2,79)
 
d.f. x2 = 1 + 2,24  = 3,24
 
Ermittlung des y-Wertes mit  f (3,24) = – 12,12
 
f´´ (3,24) = > 0
 
⇒ Tiefpunkt  T (3,4/-12,12)
 
 
 
e) Berechnung des Wendepunktes:
 
f´´ (x) = 2x – 2
 
0 = 2x – 2   / + 2
 
2x = + 2  / : 2
 
x = 1  
 
Ermittlung des y-Wertes mit f (1) = – 4,67
 
f´´´(-1) ≠ 0
 
Wendepunkt W (-1/-2)
 
 
f) Berechnung der Wendetangente:
 
1. Schritt: Ermittlung der Steigung
 
Der x-Wert des Wendepunktes eingesetzt in die 1. Ableitung ergibt die Steigung der Tangente.
 
f ´(1) = – 5    Steigung k
 
2. Schritt: Ermittlung von d
 
y = k*x + d
 
-4,67 = (- 5) * (1) + d  
 
d.f. d = 0,33

3. Schritt: Aufstellung der Wendetangente
 
tw: y = – 5x + 0,33

 
 
g) Monotonieverhalten:
 
– ∞ < x < – 1,24   streng monoton steigend    da f´ (x) > 0   (zum Hochpunkt)
 
-1,24 < x < 3,4  streng monoton fallend     da f´ (x) < 0    (zum Tiefpunkt)
 
3,4 < x < ∞ streng monoton steigend      da f´ (x) > 0  
 
 
h) Krümmungsverhalten:
 
– ∞ < x < -1  negativ gekrümmt da f´´ (x) < 0   (bis zum Wendepunkt)
 
-1 < x < ∞    positiv gekrümmt  da f´´ (x) > 0   (ab dem Wendepunkt)