Aufgabe: Kurvendiskussion ausführlich Übung 2
Führe für folgende Funktion eine Kurvendiskussion durch:
f (x) = – x³ – 3x²
a) berechne die abgeleiteten Funktionen f´(x), f´´(x) und f´´´(x)
b) erstelle den Graph der Funktion f (x)
c) berechne die Nullstellen
d) berechne die Extremstellen
e) berechne den Wendepunkt
f) berechne die Wendetangente
g) bestimme das Monotonieverhalten
h) bestimme das Krümmungsverhalten
Lösungen: Kurvendiskussion ausführlich Übung 2
a) Funktionen mit Ableitungen:
f (x) = – x³ – 3x²
f´ (x) = – 3x² – 6x
f´´ (x) = – 6x – 6
f´´´ (x) = – 6
b) Graph der Funktion f (x):
Übersicht über die Nullstellen, Extremstellen und den Wendpunkt!
c) Nullstellen:
0 = – x³ – 3x²
0 = x² * (- x – 3)
d.f. x² = 0
d.f. N1 (0/0) doppelte Nullstelle
d.f. 0 = – x – 3 / + x
x = – 3
d.f. N2 (- 3/0)
d) Extremstellen (Hochpunkt und Tiefpunkt):
f´(x) = – 3x² – 6x
0 = x * (- 3x – 6)
d.f. x1 = 0
Ermittlung des y-Wertes mit f (0) = 0
f ´´ (0) < 0
d.f. Hochpunkt H (0/0)
d.f. 0 = – 3x – 6
3x = – 6 / : 3
x2 = – 2
Ermittlung des y-Wertes mit f (-2) = – 4
f´´ (-2) = > 0
d.f. Tiefpunkt T (-2/-4)
e) Berechnung des Wendepunktes:
f´´ (x) = – 6x – 6
0 = – 6x – 6 / + 6x
6x = – 6 / : 6
x = – 1
Ermittlung des y-Wertes mit f (-1) = – 2
f´´´(2) ≠ 0
⇒ Wendepunkt W (-1/-2)
f) Berechnung der Wendetangente:
1. Schritt: Ermittlung der Steigung
Der x-Wert des Wendepunktes eingesetzt in die 1. Ableitung ergibt die Steigung der Tangente.
f ´(-1) = 3 Steigung k
2. Schritt: Ermittlung von d
y = k*x + d
-2 = 3 * (-1) + d d.f. d = 1
3. Schritt: Aufstellung der Wendetangente
tw: y = 3x + 1
g) Monotonieverhalten:
– ∞ < x < – 2 streng monoton fallend da f´ (x) < 0 (zum Tiefpunkt -2/4)
-2 < x < 0 streng monoton steigend da f´ (x) > 0 (zum Hochpunkt 0/0)
0 < x < ∞ streng monoton fallend da f´ (x) < 0
h) Krümmungsverhalten:
– ∞ < x < -1 positiv gekrümmt da f´´ (x) > 0 (bis zum Wendepunkt)
-1 < x < ∞ negativ gekrümmt da f´´ (x) < 0 (ab dem Wendepunkt)