Search
Close this search box.
Search
Close this search box.

Kurvendiskussion ausführlich Übung 2

Aufgabe: Kurvendiskussion ausführlich Übung 2


Führe für folgende Funktion eine Kurvendiskussion durch:
 
f (x) = – x³ – 3x²  
  
a) berechne die abgeleiteten Funktionen f´(x), f´´(x) und f´´´(x)
 
b) erstelle den Graph der Funktion f (x) 
 
c) berechne die Nullstellen
 
d) berechne die Extremstellen
 
e) berechne den Wendepunkt
 
f) berechne die Wendetangente
 
g) bestimme das Monotonieverhalten
 
h) bestimme das Krümmungsverhalten
 

Lösungen: Kurvendiskussion ausführlich Übung 2


a) Funktionen mit Ableitungen:
 
f (x) =  – x³ – 3x²  
 
f´ (x) = – 3x² – 6x
 
f´´ (x) = – 6x – 6
 
f´´´ (x) = – 6 

 
b) Graph der Funktion f (x):
 
Übersicht über die Nullstellen, Extremstellen und den Wendpunkt!

Kurvendiskussion ausführlich Übung 2

c) Nullstellen:
 
0 = – x³ – 3x²
 
0 = x² * (- x – 3)
 
d.f.  x² = 0  
 
d.f.  N1 (0/0) doppelte Nullstelle
 
d.f. 0 = – x – 3   / + x
 
x = – 3  
 
d.f. N2 (- 3/0)
 
 
d) Extremstellen (Hochpunkt und Tiefpunkt):
 
f´(x) = – 3x² – 6x
 
0 = x * (- 3x – 6)
 
d.f. x1 = 0        
 
Ermittlung des y-Wertes mit f (0) = 0
 
f ´´ (0) < 0  
 
d.f. Hochpunkt H (0/0)
 
 
d.f. 0 = – 3x – 6
 
3x = – 6 / : 3
 
x2 = – 2  
 
Ermittlung des y-Wertes mit  f (-2) = – 4
 
f´´ (-2) = > 0    
 
d.f. Tiefpunkt T (-2/-4)
 
 
e) Berechnung des Wendepunktes:
 
f´´ (x) = – 6x – 6
 
0 = – 6x – 6  / + 6x
 
6x = – 6  / : 6
 
x = – 1
 
Ermittlung des y-Wertes mit f (-1) = – 2
 
f´´´(2) ≠ 0
 
Wendepunkt W (-1/-2)
 
 
f) Berechnung der Wendetangente:
 
1. Schritt: Ermittlung der Steigung
 
Der x-Wert des Wendepunktes eingesetzt in die 1. Ableitung ergibt die Steigung der Tangente.
 
f ´(-1) = 3   Steigung k
 
2. Schritt: Ermittlung von d
 
y = k*x + d
 
-2 = 3 * (-1) + d     d.f. d = 1
 
3. Schritt: Aufstellung der Wendetangente
 
tw: y = 3x + 1

 
 
g) Monotonieverhalten:
 
– ∞ < x < – 2   streng monoton fallend     da f´ (x) < 0   (zum Tiefpunkt -2/4)
 
-2 < x < 0  streng monoton steigend      da f´ (x) > 0    (zum Hochpunkt 0/0)
 
0 < x < ∞ streng monoton fallend         da f´ (x) < 0  
 
 
h) Krümmungsverhalten:
 
– ∞ < x < -1   positiv gekrümmt  da f´´ (x) > 0   (bis zum Wendepunkt)
 
-1 < x < ∞     negativ gekrümmt da f´´ (x) < 0   (ab dem Wendepunkt)