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Kurvendiskussion ausführlich Übung 1

Aufgabe: Kurvendiskussion ausführlich Übung 1


Führe für folgende Funktion eine Kurvendiskussion durch:
 
f (x) = – 1/4x³ + 3/2x²  
 
a) berechne die abgeleiteten Funktionen f´(x), f´´(x) und f´´´ (x)
 
b) erstelle den Graph der Funktion f (x) 
 
c) berechne die Nullstellen
 
d) berechne die Extremstellen
 
e) berechne den Wendepunkt
 
f) berechne die Wendetangente
 
g) bestimme das Monotonieverhalten
 
h) bestimme das Krümmungsverhalten

 

Lösung: Kurvendiskussion ausführlich Übung 1


 
a) Funktionen mit Ableitungen:
 
f (x) = – 1/4x³ + 3/2x²  
 
f´ (x) = – 3/4x² + 3x
 
f´´ (x) = – 3/2x² + 3 
 
f´´´ (x) = – 3x 
 
b) Graph der Funktion f (x) = – 1/4x³ + 3/2x²  
 
Übersicht über die Nullstellen, Extremstellen und den Wendepunkt!

Kurvendiskussion ausführlich Übung 1

 
c) Nullstellen:
 
0 = –1/4x³ + 3/2x²  / * 4
 
0 = – x³ + 6x²
 
0 = x² * (- x + 6)
 
d.f.  x² = 0  
 
d.f.  N1 (0/0) doppelte Nullstelle
 
d.f. 0 = – x + 6  / + x
 
x = 6  
 
d.f. N2 (6/0)
 
 
d)  Extremstellen (Hochpunkt und Tiefpunkt):
 
f´(x) = – 3/4x² + 3x
 
0 = – 3/4x² + 3x   / * 4
 
0 = – 3x² + 12x
 
0 = x * (- 3x + 12)
 
d.f. x1 = 0
 
Ermittlung des y-Wertes mit f (0) = 0
 
f ´´ (0) = 3 
 
⇒ f´´ (0) > 0 
 
Tiefpunkt (lokales Minimum)   T (0/0)
 
 
d.f. 0 = – 3x + 12  / + 3x
 
3x = 12 / : 3
 
x2 = 4  
 
Ermittlung des y-Wertes mit  f (4) = 8
 
f´´ (4) = – 3
 
⇒ f´´ (0) < 0 
 
⇒  Hochpunkt  (lokales Maximum)    H (4/8)
 
 
e) Berechnung des Wendepunktes:
 
f´´ (x) = – 1,5x + 3
 
0 = – 1,5x + 3  / * 2
 
0 = – 3x + 6  / + 3x
 
3x = 6  / : 3
 
x = 2  
 
Ermittlung des y-Wertes mit f (2) = 4
 
f´´´(2) ≠ 0
 
Wendepunkt W (2/4)
 
 
f)  Berechnung der Wendetangente:
 
1. Schritt: Ermittlung der Steigung
 
Der x-Wert des Wendepunktes eingesetzt in die 1. Ableitung ergibt die Steigung der Tangente.
 
f ´(2) = 3  ⇒ Steigung k
 
2. Schritt: Ermittlung von d
 
y = k*x + d
 
4 = 3 * 2 + d  d.f. d = – 2
 
3. Schritt: Aufstellung der Wendetangente
 
tw: y = 3x – 2

 
 
g) Monotonieverhalten:
 
– ∞ < x < 0   streng monoton fallend, da f´ (x) < 0   (zum Tiefpunkt 0/0)
 
0 < x < 4  streng monoton steigend, da f´ (x) > 0    (zum Hochpunkt 4/8)
 
4 < x < ∞ streng monoton fallend, da f´ (x) < 0  
 
 
h) Krümmungsverhalten:
 
– ∞ < x < 2   positiv gekrümmt  da f´´ (x) > 0   (bis zum Wendepunkt)
 
2 < x < ∞     negativ gekrümmt da f´´ (x) < 0   (ab dem Wendepunkt)