Definition:


Unter einer Kurvendiskussion versteht man die Untersuchung des Graphen einer Funktion im Hinblick auf seine Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte, Wendepunkte und Wendetangenten, Monotonie- und Krümmungsverhalten.
 
Sie ist ein Anwendungsgebiet der Differentialrechnung.

 

Aufgabe:


Nullstellen liegen immer auf der x-Achse.
 
Man setzt die Funktion gleich 0 und löst die Gleichung nach x auf.
 
Berechnung: f (x) = 0
 
Methoden der Berechnung: Kleine Vieta, Große Vieta, Horner-Schema
 

Extremstellen (Hochpunkt und Tiefpunkt):


Extremstellen sind Stellen, die den tiefsten oder höchsten Punkt des Graphen (lokale Extremstellen) markieren.
 
Berechnung der x-Koordinate:  f´(x) = 0
 
Berechnung der y-Koordinate: Der x-Wert wird in die Grundfunktion eingesetzt.
 
Überprüfung ob Hoch- oder Tiefpunkt:
 
Der x-Wert wird in die 2. Ableitung eingesetzt und wenn f´´ (x0) ≠ 0 gilt.
 
f´´ (x0) < 0 ⇒ f hat bei x0 einen Hochpunkt (lokales Maximum)
 
f´´ (x0) > 0 ⇒ f hat bei x0 einen Tiefpunkt (lokales Minimum)

 

Wendepunkte und Wendetangente: 


Hier ändert die Funktion ihr Krümmungsverhalten. 
 
Die Tangente an diesem Punkt nennt man Wendetangente.
 
f´´ (x0) = 0 ⇒ f hat bei x0 eine Wendestelle, wenn gilt f´´´ (x0) ≠ 0
 
Berechnung der y-Koordinate: Der x-Wert wird in die Grundfunktion eingesetzt.
 
Überprüfung ob ein Wendepunkt vorliegt: Die x-Koordinate wird in die 3. Ableitung eingesetzt.
 
Berechnung der Steigung k: Die x-Koordinate wird in die 1. Ableitung eingesetzt.
 
Wendetangente: y  k*x + d
 

Monotonieverhalten:


Das Monotonieverhalten wird mithilfe der 1. Ableitung bestimmt.
 
Es ändert sich in den relativen Extremstellen:
 
f´ (x) > 0 ⇒ die Funktion ist in diesem Intervall streng monoton steigend.
 
f´ (x) < 0 ⇒ die Funktion ist in diesem Intervall streng monoton fallend.

 

Krümmungsverhalten:


Das Krümmungsverhalten wird mithilfe der 2. Ableitung bestimmt.
 
Es ändert sich im Wendepunkt
 
f´´ (x) > 0 ⇒ die Funktion ist hier positiv gekrümmt (links gekrümmt).
 
f´´ (x) < 0 ⇒ die Funktion ist hier negativ gekrümmt (rechts gekrümmt).