Aufgabe: Extremwertaufgabe Quader Kantenlänge a und c
Eine Schachtel hat ein Volumen von 90 cm³ und eine Breite von 5 cm.
Bei welcher Länge und Höhe braucht man am wenigsten Material?
Lösung: Extremwertaufgabe Quader Kantenlänge a und c
1. Hauptbedingung:
Oberflächenformel:
O = 2ab + 2ah + 2bh
2. Nebenbedingung:
Volumensformel:
90 = a * 5 * h
Wir formen auf h um:
90 = a * 5 * h / : 5
18 = a * h / : h
a = 18/h
3. Berechnung der Extremwerte:
Wir setzen für a = 14/h in die Oberflächenformel ein
O (h) = 2*18*5 + 2*18*h + 2*5h
h h
O (h) = 180 + 36 + 10h
h
4. Wir bilden die 1. Ableitung!
Vor dem Ableiten holen wir h in den Zähler
O (h) = 180* h-1 + 10h + 36
O’ (h) = – 180* h-2 + 10
O’ (h) = – 180 + 10
h²
5. Wir berechnen h:
0 = – 180 + 10 / * h²
h²
0 = – 180 + 10h² / + 180
180 = 10h² / : 10
18 = h² / √
√18 cm = h
6. Wir berechnen a, indem wir den Nenner rational machen
a = 18 / * √18
√18 / * √18
a = 18 * √18
18
a = √18 cm
A: Bei einer Länge und Höhe von √18 (4,24 cm) braucht man am wenigsten Material.