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Extremwertaufgabe Prisma minimalster Materialverbrauch

Aufgabe: Extremwertaufgabe Prisma minimalster Materialverbrauch 


Welche Maße muss ein oben offener Behälter (quadratisches Prisma) mit einem Fassungsvermögen von 13,5 Litern haben, damit möglichst wenig Material verbraucht wird?

Extremwertaufgabe Prisma minimalster Materialverbrauch
 
 

Lösung: Extremwertaufgaben Prisma minimalster Materialverbrauch 


1. Hauptbedingung:
 
Oberflächenformel, oben offen 
 
O = a² + 4ah   
 
 
2. Nebenbedingung:
 
Formel für Volumen:
 
13,5 = a² * h     
 
Wir lösen die Gleichung auf h auf:
 
13,5 = a² * h  / : a²
 
13,5/a² = h
 
 
3. Berechnung der Extremwerte:
 
Wir ersetzen h mit der Äquivalenz aus der Nebenbedingung.
 
O (a) = a² + 4a * 13,5/a²  
 
Wir vereinfachen!
 
O (a) = a² + 54/a       
 
 Vor dem Ableiten nehmen wir a in den Zähler!
 
O (a) = a² + 54 * a-1
 

 
4. Wir bilden die erste Ableitung:
 
O’ (a) = 2a – 54a
 
O’ (a) = 2a – 54 
                    a²
 
5. Wir berechnen a:
 
0 = 2a – 54      / * a²
              a²
 
0 = 2a³ – 54     / + 54
 
54 = 2a³   / : 2
 
27 = a³   / ³√
 
a = 3 dm
 
 

6. Wir berechnen h

Die Formel für die Berechnung von h entnehmen wir der Nebenbedingung:

h = 13,5/a² 

Wir setzen für a die Zahl 3 ein: 

h = 13,5/3² 

h = 1,5 dm

A: Der Behälter ist mit a = 3 dm und h = 1,5 dm zu dimensionieren!