Aufgabe: Extremwertaufgabe Prisma minimalster Materialverbrauch
Welche Maße muss ein oben offener Behälter (quadratisches Prisma) mit einem Fassungsvermögen von 13,5 Litern haben, damit möglichst wenig Material verbraucht wird?
Lösung: Extremwertaufgaben Prisma minimalster Materialverbrauch
1. Hauptbedingung:
Oberflächenformel, oben offen
O = a² + 4ah
2. Nebenbedingung:
Formel für Volumen:
13,5 = a² * h
Wir lösen die Gleichung auf h auf:
13,5 = a² * h / : a²
13,5/a² = h
3. Berechnung der Extremwerte:
Wir ersetzen h mit der Äquivalenz aus der Nebenbedingung.
O (a) = a² + 4a * 13,5/a²
Wir vereinfachen!
O (a) = a² + 54/a
Vor dem Ableiten nehmen wir a in den Zähler!
O (a) = a² + 54 * a-1
4. Wir bilden die erste Ableitung:
O’ (a) = 2a – 54a-²
O’ (a) = 2a – 54
a²
5. Wir berechnen a:
0 = 2a – 54 / * a²
a²
0 = 2a³ – 54 / + 54
54 = 2a³ / : 2
27 = a³ / ³√
a = 3 dm
6. Wir berechnen h
Die Formel für die Berechnung von h entnehmen wir der Nebenbedingung:
h = 13,5/a²
Wir setzen für a die Zahl 3 ein:
h = 13,5/3²
h = 1,5 dm
A: Der Behälter ist mit a = 3 dm und h = 1,5 dm zu dimensionieren!