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Extremwertaufgabe Prisma maximales Volumen Übung 5

Aufgabe: Extremwertaufgabe Prisma maximales Volumen 


Prisma mit quadratischer Grundfläche und ohne Deckel und einer Oberfläche von O = 1 000 cm².

Gesucht ist das maximale Volumen.

Extremwertaufgabe Quader mit quadratischer Grundfläche
 
 

Lösung: Extremwertaufgabe Prisma maximales Volumen 


1. Hauptbedingung:
 
Variablen: a = Grundkante, c = Höhe 
 
Volumen des Prismas:
 
V = a² * c
 
 
2. Nebenbedingung:
 
Oberfläche des Volumens
 
1000 = a² + 4ac   
 
 
Wir stellen die Gleichung auf c
 
1000 = a² + 4ac     / – a²
 
1000 – a² = 4ac     / : 4a
 
c = (1000 – a²)
          4a
 
3. Einsetzen in die Hauptbedingung:
 
Wir ersetzen c durch das Äquivalent der Nebenbedingung
 
V = a² * (1000 – a²)    
                 4a       
 
V = a² * (1000 – a²)    / Kürzen durch a
                 4a        

 
V = a * (1000 – a²)
                   4
 

Die Konstante 1/4 kann weggelassen werden.

 
V (a) = a * (1 000 – a²)
 
V (a) = 1 000a – a³

 
 

4. Wir bilden die erste Ableitung:

V (a)’ = 1 000 – 3a²

 

5. Wir berechnen a:
 
Wir setzen die 1. Ableitung gleich Null
 
0 = 1 000 – 3a² 
 
Wir berechnen a:
 
0 = 1 000 – 3a²      / + 3a²
 
3a² = 1 000       / : 3
 
a² = 1 000/3       / √
 
a = 18,26 cm
 
 
6. Wir berechnen c:
 
Die Formel entnehmen wir der Nebenbedingung:
 
c = (1 000 – 18,26²)
          (4 * 18,26)
 
c = 9,13 cm
 
 
7. Wir berechnen das Volumen:
 
V = a² * c 
 
V = 18,26² * 9,13
 
V = 3 044,19 cm³
 
Beweis des relativen Maximums:
 
V (a) ” =  – 6a < 0  wahre Aussage