Aufgabe: Extremwertaufgabe Rechteck Flächeninhalt maximal
Von allen Rechtecken mit dem gegebenen Umfang ist jenes mit dem größten Flächeninhalt zu ermitteln.
Lösung: Extremwertaufgabe Rechteck Flächeninhalt maximal
1. Hauptbedingung:
Die Hauptbedingung ist der Flächeninhalt des Rechtecks.
A = a * b
2. Nebenbedingung:
Die Nebenbedingung ist der Umfang des Rechtecks.
u = (a + b) * 2
Diese wird auf den Buchstaben a umgeformt:
u = (a + b) * 2 / : 2
u/2 = a + b / – b
a = u/2 – b
3. Berechnung der Extremwerte:
A (b) = a * b
A (b) = (u/2 – b) * b
A (b) = b * u/2 – b²
A (b) = b * u/2 – 2b²/2
A (b) =1/2 * (bu – 2b²)
Anmerkung:1/2 ist eine Konstante und kann weggelassen werden
4. Wir bilden die 1. Ableitung!
Wir bilden von bu – 2b² die 1. Ableitung:
1/2 können wir hier vernachlässigen.
A (b) = bu – 2b²
A’ (b) = u – 4b
5. Wir berechnen b
0 = u – 4b / + 4b
4b = u / : 4
b = u/4
6. Wir berechnen a:
Wir berechnen a mit der Nebenbedingung (Punkt 2)
a = u/2 – b
Wir setzen für b den Wert u/4 ein.
a = u/2 – u/4
Wir vereinfachen die rechte Seite in dem wir den gemeinsamen Nenner bilden.
a = u – u
2 4
a = u * 2 – u
2 *2 4
a = 2u – u
4 4
a = u/4
7. Wir berechnen den Flächeninhalt:
A = u/4 * u/4
A = u²/16
8. Wir überprüfen mit der 2. Ableitung, ob es sich um einen Hochpunkt handelt.
A” = – 4 < 0
d.f. Hochpunkt! d.f. u²/16 = maximaler Flächeninhalt.