Aufgabe: Extremwertaufgabe gleichschenkliges Dreieck in Rechteck
Einem gleichschenkligen Dreieck (c = 60 mm = Basis, h = 80 mm) ist das inhaltsgrößte Rechteck einzuschreiben.
Eine Seite des Rechtecks liegt auf der Basis des Dreiecks.
Lösung: Extremwertaufgabe gleichschenkliges Dreieck in Rechteck:
1. Skizze:
2. Hauptbedingung:
Die Hauptbedingung ist der Flächeninhalt des eingeschriebenen blauen Rechtecks mit den Seitenlängen x und y.
A = x * y
3. Nebenbedingung:
Ähnliche Dreiecke:
3 : 8 = x/2 : (8 – y)
3 * (8 – y) = 8 * x/2
24 – 3y = 4x
x = 6 – 3y/4
4. Berechnung der Extremwerte:
A (y) = (6 – 3y/4) * y
A (y) = 6y – 3y²/4
A (y) = 3 * (2y – y²/4)
3 ist eine Konstante und kann weggelassen werden
A (y) = 2y – y²/4
5. Wir bilden die 1. Ableitung!
A’ (y) = 2 – 2 * y/4
Wir kürzen durch 2:
A’ (y) = 2 – y/2
6. Wir berechnen y:
Wir setzen die 1. Ableitung gleich 0
0 = 2 – y/2 / * 2
0 = 4 – y / + y
y = 4 cm
7. Wir berechnen x:
Wir entnehmen die Berechnung des x-Wertes von der Nebenbedingung:
x = 6 – 3y/4
Wir ersetzen y mit 4
x = 6 – 3 * 4/4
x= 6 – 3
x = 3 cm
8. Wir berechnen den Flächeninhalt:
A = x * y
A = 3 * 4
A = 12 cm²
9. Nachweis, dass es ein Maximum ist:
Wir bilden die 2. Ableitung
A” (y) = – 1/2 < 0 d.f. Maximum