Extremwertaufgaben Kreis mit größtem Rechteck
Aus einem Baumstamm mit einem Durchmesser von 40 cm soll ein Balken mit dem größtmöglichen rechteckigen Querschnitt herausgeschnitten werden.
Rechenanleitung:
Erstelle zuerst die Hauptbedingung und Nebenbedingung, berechne dann mit der 1. Ableitung und überprüfe mit der 2. Ableitung
Lösung:
1. Hauptbedingung:
2. Nebenbedingung:
3. Berechnung der Extremwerte:
A (b) = √(40² – b²) • b
Vereinfachung der Zielfunktion:
A (b) = √(40² – b²) • b / ²
A (b) = (40² – b²) • b²
A (b) = 1 600b² – b4
4. Wir bilden die 1. Ableitung!
5. Wir berechnen b:
0 = 3 200b – 4b3
0 = b • (3 200 – 4b²) b = 0 ist keine Lösung
0 = 3 200 – 4b² / + 4b²
4b² = 3 200 / : 4
b² = 800 / √
b = 20 • √2
b = 28,28 cm
6. Wir berechnen a:
a = √(40² – (28,28…²)
a = 28,28…
a = 28,28 cm
7. Wir berechnen die maximale Querschnittsfläche:
A = a • b
A = 28,28… • 28,28…
A = 800 cm²
8. Wir bilden die 2. Ableitung für den Nachweis des relativen Extremums:
A” (b) = 3 200 – 12b²
A” (28,28) = 3 200 – 12 • (28,28)²
A” (28,28) = – 6 077,10… < 0 d.f. relatives Maximum