Aufgabe: Extremwertaufgaben Drehzylinder in Kugel eingeschrieben
Einer Kugel mit R = 10 LE werden Drehzylinder eingeschrieben.
Berechne die Abmessungen und das Volumens jenes Zylinders, der das größte Volumen hat.
Lösungen: Extremwertaufgaben Drehzylinder in Kugel eingeschrieben
R = Radius Kugel r = Radius Drehzylinder
1. Hauptbedingung:
Volumen Drehzylinder:
V = r² * π * h
2. Nebenbedingung:
Pythagoreischer Lehrsatz:
(h/2)² = R ² – r²
Wir formen auf r² um:
d.f. r² = R² – (h/2)²
Wir quadrieren die Klammer
d.f. r² = R² – h²/4
3. Berechnung der Extremwerte:
Wir setzen für r² das Äquivalent der Nebenbedingung ein:
V = (R² – h²/4) * π * h
Konstante π kann weggelassen werden:
V = (R² – h²/4) * h
Wir multiplizieren die Klammer:
V (h) = R²h – h³/4
Wir bilden die 1. Ableitung!
V’ (h) = R² – 3h²
4
4. Berechnung der Höhe
Wir setzen die 1. Ableitung gleich Null:
0 = R² – 3h²/4
Wir lösen die Gleichung auf h auf:
3h²/4 = R² / : 3/4
h² = 4R²/3 / √
h = 2R
√3
Nenner wurzelfrei machen!
h = 2R / * √3
√3
h = 2R * √3
√3 * √3
h = 2R * √3
3
h = 2 * 10 * √3
3
h = 11,55 LE
5. Berechnung vom Radius
Wir ersetzen h durch durch 2R * √3/3
r² = R² – (2R * √3/3)² : 4
r² = R² – (4R² * 3/9) : 4
Kürzen durch 12:
r² = R² – (12R²/36)
r² = R² – R²/3
Auf den gemeinsamen Nenner 3 bringen!
r² = (3R² – R²)
3
r² = 2R² / √
3
r = R √2
√3
Wir eliminieren √3 im Nenner.
r = R *√2 * √3
√3 * √3
r = R * √6
3
r = 10 * √6
3
r = 8,16 LE
6. Berechnung des Volumens:
V = 2R²/3 * π * 2R * √3 : 3
V = (4R³ * π * √3) : 9
V = (4*10³ * π * √3) : 9
V = 2418,40 VE