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Extremwertaufgaben Drehzylinder in Kugel eingeschrieben

Aufgabe: Extremwertaufgaben Drehzylinder in Kugel eingeschrieben


Einer Kugel mit R = 10 LE werden Drehzylinder eingeschrieben.

Berechne die Abmessungen und das Volumens jenes Zylinders, der das größte Volumen hat.

 

Lösungen: Extremwertaufgaben Drehzylinder in Kugel eingeschrieben


R = Radius Kugel   r = Radius Drehzylinder

Extremwertaufgaben Drehzylinder in Kugel eingeschrieben
 
1. Hauptbedingung:  
 
Volumen Drehzylinder:
 
V = r² * π * h
 
 
2. Nebenbedingung:  
 
Pythagoreischer Lehrsatz:
 
(h/2)² = R ² – r²  
 
Wir formen auf r² um:
 
d.f. r² = R² – (h/2)²  
 
Wir quadrieren die Klammer
 
d.f. r² = R² – h²/4
 
 
3. Berechnung der Extremwerte:
 
Wir setzen für r² das Äquivalent der Nebenbedingung ein:
 
V = (R² – h²/4) * π * h     
 
Konstante π kann weggelassen werden:
 
V = (R² – h²/4) * h
 
Wir multiplizieren die Klammer:
V (h) = R²h – h³/4
 
Wir bilden die 1. Ableitung!
 
V’ (h) = R² – 3h²
                     4
 
4. Berechnung der Höhe
 
Wir setzen die 1. Ableitung gleich Null:
 
0 = R² – 3h²/4
 
Wir lösen die Gleichung auf h auf:
 
3h²/4 = R²  / : 3/4
 
h² = 4R²/3  / √
 
h = 2R 
      √3         
 
Nenner wurzelfrei machen! 
 
h = 2R  / * √3
      √3       
 
h = 2R * √3
      √3 * √3      

 

h = 2R * √3
           3
 
h = 2 * 10 * 3
          3
 
h = 11,55 LE
 
 
5. Berechnung vom Radius
 
Wir ersetzen h durch durch  2R * √3/3
 
r² = R² – (2R * √3/3)² : 4               
 
r² = R² – (4R² * 3/9) : 4
 
Kürzen durch 12:
 
r² = R² – (12R²/36)        
 
 
r² = R² – R²/3    
 
Auf den gemeinsamen Nenner 3 bringen!   
 
r² = (3R² – R²)
            3
 
r² = 2R²    /  √
        3
 
r = R √2
       √3
 
Wir eliminieren √3 im Nenner. 
 
r = R *√2  *  √3
           √3  * √3
 
r = R * √6 
          3
 
r = 10 * √6 
          3

 
r = 8,16 LE
 
 
6. Berechnung des Volumens:
 
V = 2R²/3 * π * 2R * √3 : 3     
 
V = (4R³ * π * √3) : 9
 
V = (4*10³ * π * √3) : 9
 
V = 2418,40 VE