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Rationale Zahlen

Definition: Rationale Zahlen


Rationale Zahlen sind eine Teilmenge der reellen Zahlen (ℚ ∈ ℝ).

Sie lassen sich im Gegensatz zu den Irrationalen Zahlen als Verhältnis zweier ganzen positiven oder negativen Zahlen darstellen (Bruch).

In ihr enthalten ist die Menge der natürlichen Zahlen ℕ ∈ ℚ und der ganzen Zahlen ℤ ∈ ℚ.

 

Mengendarstellung:


Rationale Zahlen Mengendarstellung

 

Darstellung der rationalen Zahlen:


Das Symbol für die rationalen Zahlen ist ein ℚ.

 

Teilmengen:


Rationale Zahlen ohne Null: ℚ* → {x ∈ ≠ 0} x,x0}

Positive rationale Zahlen:  ℚ+ → {x ∈ > 0}

Negative rationale Zahlen: ℚ  → {x ∈ < 0}

 

Eigenschaften:


a) Jede rationale Zahl lässt sich als Punkt auf einer Zahlengeraden darstellen.

b) Es gibt keine größte oder kleinste rationale Zahl.

c) Es gibt unendlich viele rationale Zahlen.

d) Rationale Zahlen sind hinsichtlich ihrer Größe geordnet a > b oder a < b

 

Abgeschlossene Operationen:


Die vier Grundrechnungsarten sind abgeschlossene Operationen, anders formuliert:

Jeweils die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division zweier rationalen Zahlen hat erneut eine rationale Zahl als Ergebnis.

Für alle rationalen Zahlen a, b ∈ ℚ gilt:

Addition: a + b ∈ ℚ

Subtraktion: a – b ∈ ℚ,

Multiplikation: a • b ∈ ℚ,

Division: a : b ∈ ℚ

 

Beispiele für rationalen Zahlen:


a) alle natürlichen Zahlen: z.B. 0, + 5, + 8, etc. 

b) alle ganzen Zahlen: z.B. – 4, + 5, – 11, etc.

c) alle Quadratzahlen: z.B. 4, 49, 225, etc.

d) alle Brüche: z.B. 3/4, 8/9, etc.

e) Periodische Dezimalzahlen: z.B. 1,333….

f) Endliche Dezimalzahlen: z.B.  3,12