Binomische Formeln hoch 2 | Herleitung & Beispiele
Binomische Formeln sind “Abkürzungen” für die Multiplikation von 2 Binomen!
z.B. (a + b) • (a + b) = (a + b)² abgeleitet nach dem Prinzip: a • a = a²
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3 Arten von binomischen Formeln:
Überblick |
Wir unterscheiden folgende binomische Formeln:
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1. binomische Formel:
Formel |
 Das Ergebnis der 1. binomischen Formel (a + b)² setzt sich aus drei Teilen zusammen: 1. Teil: Quadrat von a → a² 2. Teil: doppeltes Produkt von a und b → 2 • a • b 3. Teil: Quadrat von b → b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Beweis: Da (-) •(-) immer + ergibt z.B. (- a) • (- a) = + a² |
Beispiel |
(6x + 9y)² =
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2. binomische Formel:
Formel |
 Das Ergebnis der 2. binomischen Formel (a - b)² setzt sich aus drei Teilen zusammen: 1. Teil: Quadrat von a → a² 2. Teil: doppeltes Produkt von a und - b → - 2 • a • b 3. Teil: Quadrat von b → b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
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Beispiel Berechne: (5x - 11y)² = 1. Teil: 5x • 5x = 25x²
2. Teil (Mittelstück): 2 • 5x • 11y = - 110xy
3. Teil: - 11y • - 11y = 121y²
d.f. 25x² - 110xy + 121y²
3. binomische Formel:
Formel |
 Das Ergebnis der 3. binomischen Formel setzt sich aus zwei Teilen zusammen: Das Mittelstück entfällt, weil sich die Produkte + ab und - ab neutralisieren. |
Beispiel (6x + 9y) • (6x - 9y) =
1. Teil: 6x • 6x = 36x²
2. Teil: 9y • - 9y = - 81y²
d.f. 36x² - 81y²
Aufgabe 1 Lösungen
Löse folgende Aufgabe mit binomischen Formeln
(x – 3)² – (x + 3)² + (x – 3) (x + 3) =
Probe mit x = 2
Aufgabe 2 Lösungen
Löse folgende Aufgabe mit binomischen Formeln
(a + b)² – 2 (a – b)² + 3 (a – b) (a + b) =
Probe mit a = 1 und b = 2
Aufgabe 3 Lösungen
Löse folgende Aufgabe mit binomischen Formeln
3 (a – b)² – [2 (a + b)² + 5 (a – b) (a + b)] =
Probe mit a = 1 und b = 2
Aufgabe 4 Lösungen
Löse folgende Aufgabe mit binomischen Formeln
(- p – q)² – 2 (- p + q)² – (p – q) (p + q) =
Probe mit p = 2 und q = 3