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Pythagoras gleichseitiges Dreieck

Pythagoras gleichseitiges Dreieck:


Die Höhe ha teilt das gleichseitige Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke.

Pythagoras gleichseitiges Dreieck

 

Satz des Pythagoras: 


Formel:

a² = ha² + (a/2)²       

 

praktische Anwendung:

ha = a • √3 : 2

A = a² • √3 : 4 

 

 

Umkehraufgaben:


Flächeninhaltsformel: 

A = a² : 4 • √3

⇒ a = √(4 • A : √3)

  

Formel für die Höhe:  

ha = a/2  • √3 

⇒ a = 2 • ha : √3 

 

Herleitung der Formel für ha:


Gleichseitiges Dreieck Herleitung der Formel

Da hier wieder zwei Seiten des rechtwinkligen Dreiecks den gleichen Buchstaben haben (a) können wir eine Formel herleiten

1. Schritt: Grundformel

ha = √ a² – (a/2)²  

 

2. Schritt: wir potenzieren die 2. Kathete

ha = √ a² – a²/4   

 

3. Schritt: wir bilden den gemeinsamen Nenner

ha = √ 4a²/4 – a²/

 

4. Schritt: wir fassen zusammen

ha = √ 3a²/4   

 

5. Schritt: wir teilen in zwei Wurzeln

ha = √ 3 • √ (a²/4)

 

6. Schritt: teilweises Wurzelziehen

ha = √ 3 • a/2

h= a • √3
          2

 

Herleitung der Flächeninhaltsformel:


Wir setzen die obigen Variablen in die Grundformel ein: 

1. Schritt: Grundformel
 
A = Basis • Höhe auf Basis 
                  2    
    
2. Schritt: Variablen einsetzen
 
A = a • a • √3 
         2 • 2     
 
3. Schritt: zusammenfassen
 
A = a² • √3 
          4  

 

Beispiel:


gleichseitiges Dreieck: a = 4,6 cm

a) die Höhe ha = ? 

b) den Flächeninhalt A = ? 

c) den Umfang U = ? 

 

a) Höhe ha:

ha = a • √3 
           2
 
ha = 4,6 • √3 
            2

ha  = 3,98 cm

A: Die Höhe ha beträgt 3,98 cm.

 

b) Flächeninhalt:

A = a² • √3 
          4
 
A = 4,6² • √3
            4

A = 9,16 cm²

A: Der Flächeninhalt beträgt 9,16 cm².

 

c) Umfang:

U = 3 • a

U = 3 • 4,6 cm

U = 13,8 cm 

 

Tests:


Gleichseitiges Dreieck Herleitung Höhe Test

 

Videos:


Gleichseitiges Dreieck Herleitung Formeln Video

 

Übungsblätter:


Pythagoras gleichseitiges Dreieck Übungsblatt

Pythagoras gleichseitiges Dreieck Merkblatt

Pythagoras gleichseitiges Dreieck Aufgabenblatt