Definition vom ggT:


Der größte gemeinsamen Teiler (ggT) ist der größte gemeinsame Teiler einer Teilermenge von zwei oder mehreren natürlichen Zahlen.

Anders formuliert ist das ggT das Produkt der gemeinsamen Teiler der vorgegebenen Zahlen.

Hinsichtlich der Lösungsbildung gibt es zwei Verfahren:

a) für kleinere Zahlen genügt die einfache Bildung der Teilermengen

b) bei größeren Zahlen ist die Primfaktorenzerlegung vorteilhaft.

 

Bildung des ggT mittels Teilermengen:


Anwendungsgebiet:

bei kleineren Zahlen

Vorgangsweise:

1. Wir bilden von jeder Zahl die Teilermenge.

2. Wir bestimmen den größten gemeinsamen Teiler

Beispiel:

Bilde den ggT (16, 20)

1. Schritt: Wir bilden die Teilermengen:

T (16) = {1, 2, 4, 8, 16}

T (20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20} 

2. Schritt: Wir bestimmen den größten gemeinsamen Teiler

T (16) = {1, 2, 4, 8, 16}
 
T (20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
 

d.f. ggT (16, 20) = 4

 

Bildung des ggT mittels Primfaktorenzerlegung:


Anwendungsgebiet:

bei größeren Zahlen

Vorgangsweise:

1. Wir bilden von jeder Zahl die Primfaktorenzerlegung.

2. Wir suchen die Teiler, die in allen Zahlen gemeinsam vorkommen.

3. Wir bilden das Produkt der gemeinsamen Teiler und erhalten dadurch den ggT.

Beispiel:

Bilde den ggT (28, 40)

 
1. Schritt: Primfaktorenzerlegung

Zerlege 28 in Primfaktoren:   28 =  2 * 2 * 7

Zerlege 40 in Primfaktoren:   40 = 2 * 2 * 2 * 5 

2. Schritt: Wir suchen die gemeinsamen Teiler

28 = 2 * 2 * 7

40 = 2 * 2 * 2 * 5

3. Schritt: Wir bilden mit dem Produkt der gemeinsamen Teiler den ggT

ggT (28, 40) = 2 * 2 = 4

 

Relativ prim:


Eine Ausnahme bei der Bildung des ggT sind die teilerfremden Zahlen, die auch relativ prim genannt werden.

Da sie keine gemeinsamen Teiler aufweisen, ist ihr größter gemeinsamer Teiler immer 1.

Davon sind vor allem auch Primzahlen betroffen.

 
Bilde den ggT (17, 18)
 

1. Schritt: Wir bilden die Teilermengen:

T(17) = {1, 17}

T(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18} 

2. Schritt: Wir bestimmen den größten gemeinsamen Teiler

T(17) = {1, 17}

T(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

 
d.f. ggT (17, 18) = 1 (relativ prim)