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Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen

Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen:


Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mindestens zwei linearen Gleichungen mit zwei Variablen (unbekannte Größen).

 

Lineare Gleichungssysteme

Abb. Wir ermitteln zwei Variablen 

 

Lösungsmenge:


Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems besteht aus allen Zahlenpaaren, die beide Gleichungen zu einer wahren Aussage machen.

Um die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystem zu ermitteln, kann man drei rechnerische

Verfahren anwenden: Additionsverfahren, Einsetzungsverfahren und Gleichsetzungsverfahren.

Das Ziel aller drei Verfahren besteht darin, in einem ersten Schritt eine Variable auszurechnen.

Diese Lösung wird dann in eine der Gleichungen eingesetzt und damit die zweite Variable berechnet.

Zudem kann die Lösung auch mit dem graphischen Verfahren ermittelt werden. 

 

Eliminationsverfahren:


Das Eliminationsverfahren wird auch Additionsverfahren genannt. 

Hier wird durch geschicktes Multiplizieren/Erweitern eine Variable in ihrem Wert so verändert, dass sie durch das abschließende Addieren eliminiert werden kann. 

Anwendung: am sinnvollsten, wenn keine Variable alleine steht

Beispiel:  

 I. 4x + 2y = 10      / * (- 2) 

 II. 5x + 4y = 8

 

 I. – 8 x – 4y = – 20    / * (- 2) 

 II. 5x + 4y = 8

– 3x = – 12     / : (- 3) 

x = 4

 

Einsetzungsverfahren:


Das Einsetzungsverfahren wird aus Substitutionsmethode genannt. 

Hier wird der äquivalente Term einer Variable, der alleine steht, in die zweite Gleichung eingesetzt. 

Anwendung: am sinnvollsten, wenn eine Variable alleine steht.

Beispiel:

I. y = 2x + 1    

II. 4x + 3y = 10 

 

hier ist y = (2x + 1) und wird in die 2. Gleichung für y eingesetzt. 

II. 4x + 3y = 10 

d.f. 4x + 3 * (2x + 1) = 10 

4x + 6x + 3 = 10 

10x + 3 = 10 / – 3 

10x = 7  / : 10 

x = 0,7

 

Gleichsetzungsverfahren:


Das Gleichsetzungsverfahren wird auch Komparationsmethode genannt. 

Hier bildet der Gegenwert beider alleinstehenden Variablen (z.B. y) jeweils die linke und rechte Seite der Gleichung. 

Anwendung: am sinnvollsten, wenn 2x die gleiche Variable alleine steht  

Beispiel:

I.  y = 4x + 3  

II. y = 2x + 5   

 

d.f. 4x + 3 = 2x + 5    /  – 2x 

2x + 3 = 5    / – 3 

2x = 2   / : 2

 x = 1 

  

Graphisches Lösungsverfahren:


Mit dem graphischen Lösungsverfahren kann zudem zeichnerisch der Schnittpunkt der beiden Geraden = Lösungsmenge ermittelt werden. 

 

 Graphisches Lösungsverfahren
 

Die graphisch ermittelten Lösungen für x und y werden dann in beide Gleichungen eingesetzt. 

Erhalten wir bei beiden Gleichungen eine wahre Aussage ist die graphisch ermittelte Lösung richtig. 

 

Fallunterscheidungen:


Hinsichtlich der möglichen Lösungen von zwei linearen Gleichungen lassen sich folgende Fallunterscheidungen vornehmen.  
 
a) Sie schneiden sich:  L = {Schnittpunkt}
 
Fallunterscheidungen - Schnittpunkt 
 
b) Sie verlaufen parallel:   L = { }
 
Fallunterscheidung leere Menge
 
c) Sie sind identisch:   L = {Definitionsmenge}
 
Fallunterscheidung - Lösung = Definitionsmenge 
 

 

Zusammenfassung: 


Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen besteht aus zwei linearer Gleichungen mit zwei Variablen (unbekannte Größen). 

Mit Hilfe des Additionsverfahrens, des Einsetzungsverfahrens, des Gleichsetzungsverfahrens und des graphischen Lösungsverfahrens werden jene Lösungen gesucht, die beide Gleichungen zu einer wahren Aussage machen.