Definition: Kürzen von Bruchtermen
Beim Kürzen von Bruchterme werden Zähler und Nenner (diagonal und vertikal) mit der gleichen Zahl, Variablen oder Klammer dividiert.
Wenn man Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl, Variable, Klammer dividiert, verändert sich der Wert des Bruchterms nicht.
Oft ist es nötig, dass vor dem Kürzen Zahlen, Buchstaben herausgehoben werden, oder binomische Formeln erkannt werden.
Beispiel 1:
Welche Werte dürfen a, b und c nicht annehmen? a ≠ 0, b ≠ 0 und c ≠ 0
Bruchterme der obigen Form kürzen wir, indem wir jede Variable für sich berechnen.
Wir gliedern die einzeln Variablen im Zähler und Nenner auf,
und streichen jeweils die gleiche Anzahl durch.
aaa * bbbbb * ccccccc =
aa * bbbbbbbb * ccccc
a * cc = a*c²
bbb b³
Beispiel 2:
Welche Werte darf a nicht annehmen? a ≠ 0
Vorbemerkung:
Wir müssen zuerst herausheben, bevor wir kürzen.
Da a3 im Zähler ein Bestandteil einer Differenz darstellt.
Bestandteile von Summen und Differenzen dürfen nicht gekürzt werden.
1. Schritt: Wir heben a³ heraus
a³ • (1 – a²) =
a³
2. Schritt: Wir kürzen durch a3
a³ • (1 – a²) = 1- a²
a³
Beispiel 3:
(a + b)² =
a² – b²
1. Schritt: Wir “zerlegen” die binomischen Formeln:
(a + b)² = (a + b) * (a + b)
a² – b² (a – b) * (a + b)
2. Schritt: Wir kürzen durch die Klammer (a + b):
(a + b)² = (a + b) * (a + b)
a² – b² (a – b) * (a + b)
Ergebnis: (a + b)
(a – b)
Beispiel 4:
5ab – 10b =
15a – 30
Welche Werte darf a nicht annehmen? a ≠ + 2
1. Schritt: Wir heben heraus
5ab – 10b = 5b * (a – 2) =
15a – 30 15 * (a – 2)
2. Schritt: Wir kürzen durch 5 und durch die Klammer (a – 2):
5b * (a – 2) = b
15 * (a – 2) 3