Definition: 


Von einem Bruchterm spricht man, wenn bei einem Term die Variable(n) im Nenner stehen. 

Der Nenner darf dabei nicht den Wert 0 annehmen. 

 

Definitionsmenge von Bruchtermen:


Alle anderen Zahlen, die für die Variablen im Nenner eingesetzt nicht den Wert 0 ergeben,

bilden die Definitionsmenge D des Bruchterms

 
Beispiel: Bilde die Definitionsmenge 
 
  1      =              Grundmenge: ℝ
 x + 3
 

Lösung: 

Wir stellen den Nenner ≠  0. 

x + 3 ≠ 0    / - 3

x ≠ - 3 

G = ℝ \ {- 3}        Anmerkung  \  = ohne

 

Nennerbildung mittels Faktorisierung:


Bei komplizierteren Bruchtermen wird der gemeinsame Nenner durch Faktorisierung (Zerlegung) ermittelt:
 
    4       -         4 - x        = 
3x - 6           x²  - 2x
 
Faktorisierung der beiden Nenner:

1. Nenner: 3x - 6   d.f.  3 (x - 2) * x     Anmerkung: Wir erweitern mit x

2. Nenner:  x²  - 2x   d.f. x * (x - 2) * 3    Anmerkung: Wir erweitern mit 2

d.f. gemeinsamer Nenner:  3 * x * (x - 2)

Anmerkung: Ausgehend von gemeinsamen Nenner erweitern wir die vorhandenen Elemente mit den fehlenden Elementen (hier mit x und 2) 

 

Erweitern eines Bruchterms:


Wenn man Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl/Variable multipliziert, verändert sich der Wert des Bruchterms nicht. 

Die Erweiterung von Bruchtermen ist erforderlich, wenn Bruchterme mit ungleichnamigen Nenner auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden sollen.

Beispiel: Erweitere folgenden Bruchterm mit 2x
 
  3y    =
4 + x
 
  3y * 2x       =     6xy       
(4 + x) * 2x      8x + 2x²
 

Kürzen eines Bruchterms:


Wenn man Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl/Variable dividiert, verändert sich der Wert des Bruchterms nicht. 
 
Oft ist es nötig, dass vor dem Kürzen Zahlen, Buchstaben herausgehoben werden, oder Binomische Formeln erkannt werden.
 
Beispiel: Kürze folgenden Bruchterm 
 
4a * 12c   * (a + 3c)    = a + 3c 
   4a                 4 a                   a
 
Anmerkung: Wir heben zuerst im Zähler die Zahl 4 heraus und kürzen dann anschließend durch 4.

Bruchterme addieren:


a) Gleichnamige Bruchterme werden addiert,
 
indem man ihre Zähler addiert und den gemeinsamen Nenner unverändert lässt.
 
Beispiel:
 
 1     + 3      =  4 
5x       5x        5x
 

b) Ungleichnamige Bruchterme werden addiert,
 
indem man den Nenner durch Erweitern gleichnamig macht und dann die ebenfalls erweiterten Zähler addiert. 
 
Bei komplizierteren Bruchtermen wird der gemeinsame Nenner durch Faktorisierung (Zerlegung) ermittelt.
 
 1   +   3    =
2y       4x        
 
Anmerkung: Der gemeinsame Nenner ist 4xy, daher müssen wir:
 
a) den ersten Bruch mit * 2x erweitern
 
b) den zweiten Bruch mit * y erweitern
 
 1  * 2  +     * y    =   2   + 3y     =  2 + 3y 
2y * 2      4x  * y        4xy    4xy          4xy
 
 

Bruchterme subtrahieren:


a) Gleichnamige Bruchterme werden subtrahiert, indem man ihre Zähler subtrahiert und den gemeinsamen Nenner unverändert lässt.
 
 9    -    2    =   7  
3x        3x       3x 

b) Ungleichnamige Bruchterme werden subtrahiert, indem man den Nenner durch Erweitern gleichnamig macht und dann die ebenfalls erweiterten Zähler subtrahiert
 
Bei komplizierteren Bruchtermen wird der gemeinsame Nenner durch Faktorisierung (Zerlegung) ermittelt.
 
3    -   3   =
2x      4x        
 
Anmerkung: Der gemeinsame Nenner ist 4x, daher müssen wir den ersten Bruch mit * 2 erweitern:
 
3    * 2  -   3   =    -  3   =    3  
2x  * 2     4x        4x    4x       4x
 

Bruchterme multiplizieren:


Zwei Bruchterme werden multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.
 
Um den Bruchterm zu vereinfachen muss auch oft faktorisiert (herausgehoben) und/oder gekürzt werden.
 
  2x - 4        *   15y + 45  =
 10y + 30          8x - 16
 
1. Schritt: Wir heben heraus:
 
  2 *  (x - 2)    *   15 * (y + 3) =
  10 * (y + 3)         8 * (x - 2) 
 
 
2. Schritt: Wir kürzen diagonal
 
* (x - 2)    *       15 * (y + 3) =   1 * 3  =  3
10 * (y + 3)              8 * (x - 2)      2 * 4       8
      

Nebenrechnungen:

10 und 15 werden jeweils gekürzt durch 5

Die Klammer (y + 3) kann gekürzt werden

Die Klammer (x - 2) kann gekürzt werden

2 und 8 werden jeweils gekürzt durch 2 

 

Bruchterme dividieren:


Man dividiert durch einen Bruchterm, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert.

Um den Bruchterm zu vereinfachen muss auch oft faktorisiert (herausgehoben) und gekürzt werden.

 
Beispiel:
 
  4x + 12    :     8x + 24  =
  6y + 24         12y + 48
 
1. Schritt: Wir bilden den Kehrwert
 
  4x + 12    *    12y + 48  =
  6y + 24        8x + 24
 
 
2. Schritt: Wir heben heraus
 
  4 * (x + 3)    *    12 * (y + 4)  =
  6 * (y + 4)       8 * (x + 3)
 
 
3. Schritt: Wir kürzen diagonal
 
4 * (x + 3)    *    12 * (y + 4)  =   2  = 1
6 * (y + 4)           8 * (x + 3)        2

Nebenrechnungen:

4 und 8 werden jeweils dividiert durch 4

Die Klammer (x + 3) kann gekürzt werden

6 und 12 werden jeweils dividiert durch 6

Die Klammer (y + 4) kann gekürzt werden